S/ii pr itici pii del Calcolo aritììielico-iìilegrale 
o 
13. La funzione «,.(//) — Interessanti tbrmole si possono dedurre dai risultati prece- 
denti introducendo la funzione numerica [n], eguale a 0 o a l secondo che n è divi- 
sibile o no per una potenza 5 """ di un numero naturale maggiore dell’ unità. 
La funzione «.,.(//) si riduce alla funzione a (unità integrale) quando 5 — 1. 
Il calcolo della derivata di a^. si eseguisce speditamente quando si osservi che questa 
funzione è imprimitiva. Poiché 
1 0 , se oj =;|^ 5 , 
( — 1 , se co 5 , 
si può in ogni caso porre 
daici") — ix(«“) , 
e però si ha 
1 
3cc,(;/) = . (1) 
Denotiamo con Qs la funzione sommatoria di a.,-. Evidentemente Q*. (//) è uguale al 
numero dei numeri naturali non superiori ad che non sono divisibili per potenze 5 '""^ 
(maggiori di 1). 
Applicando la forinola ( 6 ) del n. 11, si ottiene subito la forinola di Gegenbauer : 
Questa si riduce, se 5 = 1, alla formola di Meissel-Bugajev-Lipschitz (n. 11, d). 
Bugajev e Hacks hanno ottenuto dei risultati eleganti relativamente alla funzione Q,^ [n). 
Questi possono facilmente dedursi dai principi generali del calcolo aritmetico-integrale. A 
tal fine poniamo per semplicità di notazione: 
z=z , 
essendo f una funzione numerica qualunque, sempre nulla pei valori dell’ argomento, che 
non siano interi positivi, ed osserviamo che si ha (10.2): 
cc,oS/'('''> S (a,x/-<^">) . 
Per lo studio del prodotto integrale conviene introdurre il simbolo 5/, per 
denotare la massima potenza x""" che divide n. Allora si ha 
(«,x/<^Q in) ^ 2 a, (^) (c/) =: ^ a, (^) /(5) , 
d ò 
*) Denkschr. Ak. Wien (matli.), t. 49, I, a. 1885, p. 
37: llr P- I05 ; t. 50, I, a. 1885. p. 153. 
ATTI ACC. SERIE V. VOI.. Vili — Mem. XI. 
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