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Sui principii del Calcolo aritìiietico-integrale 
si ha 
/(;/.) I g (a) = (/(r, //) — /(r, 1) ) g (r) ; 
cambiando poi n in n — 1, n — 2,..., 2, l e sommando si ottiene la formola : 
n H 
Se in questa si cambia g in 9^, e poi si muta f in ^ e in / si ottiene 
n ìt 
^ /(/', il) dg{r) =^g ir, a) 9/'(r) • (2) 
/•=1 ;•=! 
Fra le varie applicazioni di queste forinole sono particolarmente notevoli quelle che 
se ne fanno nella teoria dei numeri primi. Ci limiteremo qui ad un cenno. 
Denotiamo con z(u) il numero dei numeri primi che non superano u , e con un 
numero naturale soddisfacente alla condizione : 
c (n) > l/^ ^ c []' 11] . 
Denotiamo poi con iì (n) l’ unità o lo zero secondo che n è composto esclusivamente 
o no di fattori primi appartenenti al sistema 
Pi , P-2 , ’ P’h ( 3 ) 
ed osserviamo che si ha 
I |J. (//) t2(//) =i II [l — 1> (a)j , 
e quindi j [X (;/) è uguale a 1 se ii non è divisibile per alcuno dei numeri (3), ed è 
nullo in caso contrario. 
Ciò posto, facciamo in (l) 
g{n) ~ |x (//) il (//) , 
H (;/) — fipP / (pp -{- ... ^ 
«I //| 
T (//,//,) — /(l, li) — y /•(/), , //) 'S^/iprpj, li) — ... , 
<=1 * 0=1 
e poniamo 
