Michele Cipolla 
[Memoria XI. 1 
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si ottiene 
H (//) = 'r(//, ;/,) W (/>;,,) —/(I). i-^) 
Questa foimola risolve il problema di calcolare la somma dei valori che prende 
una funzione numerica f(x) quando x percorre la successione dei numeri primi 
che non superano n, noli soltanto i numeri primi che non superano \ ii- 
.Se nella ( 4 ) si suppone /' ’j, si ricava la forinola di Meissel ') ; 
c{n) = //, 
1 H- 
i=i 
+ 1 
^ ^ IPipj 
'.;=i 
9 
Se si suppone invece /(//) ~ // , e si denota con S (//) la somma dei numeri primi 
che non superano n , si ottiene la forinola di .Sylvester : 
>0 
1=1 
— ]([— 1 + l) - .... 
p>pj\\\pipj\ ' ' 
Se nella (4) si suppone che /(;/) abbia il valore l o 0 secondo che 11 appartiene o 
no alla progressione aritmetica 
N, M H- /V, 24/ -|- yV, 34/ -|- yV, ... , 
si ottiene una formola che comprende, come casi particolari , le forinole di Legendre sul 
numero dei numeri primi di una progressione aritmetica , che non superano un numero 
assegnato ; ecc. 
Finalmente, supponiamo che f[ii) non sia mai nulla e mutiamo nella (4) fili) in 
log/(//). Ponendo 
pipi 
2 
1“ i 
e(r,»)=/(/-)/(lV).../([-^]r) . 
*) Cfr. la mia Memoria Eslnisioue delle forinoli' di MEISSEL-ROGEL e di TORHLI.I sulla lolahlà dei 
■numeri pi imi che non supei ano un numero assegnalo (Ann. di Mat., ,s. 3, t. Il, a. 1015. p. 2?) I nella 
quale si fanno varie applicazioni della formola (4). e si deducono da questa altre forinole die richiedono un 
minor numero di numeri primi. 
MEISSEL, liereelinung- der Menge der Primzahlen innei halh gegehenen Crenze , Math. Ann., t. 2, 
a. 1870. p. 636; t. 3, a. 1871, p. 323 '. t. 21, a. 1883, p. 302 ; t. 23. a. 1883, p. 231 — Cfr. pure ROGEL. 
Recursive Jiestimmu ng- der Anzahl Primzahlen unler gegehenen Clrenzen Sitz. k. bum. Gesell. der Wiss., 
Malli. Xal. Classe, a. iSigj, N. .XXII. 
SYLVESTER, Note sur le théorème de LEGENDRE, Comp. remi, de l’Ac. des Se. de Paris, t. 06, a. 1S83, 
p. 463 — V. anche LERON, Rend. Gire, mat, di l\alermo. t. 18. a. 1004, p. 260. 
