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Sm' principii del Calcolo arilmelico-iiilegride 
Come conseguenza delle proprietà dei fattoriali integrali si possono ottenere varie 
espressioni del prodotto (1). 
Ad es. si ha 
logP = ^oSlog/", 
quindi, posto 
U{n) =. /(l)/(2) .../(;/) , 
( 7 ) 
si trae 
n f[r) 
)•=! 
In particolare, se g = si ottiene 
U 
« r n 
( 8 ) 
I n 
u 
n 
I I 
2 I 
n 
( 9 ) 
"il 
a) Supponiamo sia f{n) = ^ quando è ;^ > 1, e /(l)= 1, allora è U{n) = n, 
quindi 
P) Se f{n) = n, la (9) e la (4), tenendo presente una forinola dei n. 10, danno : 
7) Supponiamo infine che sia / = /. In virtù della (6) si ha 
li 
n 
u 
n I 
.. u\-^] 
I 
2 I 
I ■" I 
( 10 ) 
essendo ora 
U{n) = 7(1) 7(2) ..;7 (//). 
Il risultato (10), sotto una forma poco diversa, è stato applicato dal Tchebichev nella 
dimostrazione dell’ esistenza di un numero primo compreso tra n e 2n — 2, per ogni n 
maggiore di 4. 
Si chiami fattoriale primaria, d’ordine q, del numero n la funzione (■«), eguale al 
prodotto di tutti i numeri natumli, maggiori di 1, la cui potenza non supera n, e sia 
bfu) = 1 , se n < 2'' . 
Ora si ha manifestamente 
L\ii) = 70) 7(2) ... -f u) =: Ufi) bfn) %fu ) ... , 
