4 
Michele Cipolla 
1 Memoria XII. | 
Per stabilire la (lOj basta osservare che 
- - .^xD.S/’ — .^x/; 
poi^ in virtù della proprietà commutativa del prodotto integrale, dalla (10) segue la (9). 
Dalla (10) segue pure la proprietà 
ho [g,oF) — {hxg) oi" , (11) 
essendo h una funzione numerica qualunque. 
La funzione a che ha nel prodotto integrale lo stesso ufficio che 1’ unità nel prodotto 
aritmetico, cioè soddisfa alla condizione 
.Ax" = / , 
qualunque sia la funzione /', ha il valore 1 o 0 secondo che 1’ argomento è uguale o mag- 
giore dell’ unità : essa dicesi 1’ iinilà integrale. 
Due funzioni numeriche il cui prodotto integrale è uguale ad a diconsi coniugale. 
La coniugata di una funzione numerica f esiste solo quando è /(l) =|=0: essa è uni- 
/'X — ^ 
ca, e SI denota con /' 
Essa può facilmente calcolarsi per ricorrenza (*) : in seguito la esprimeremo con un 
determinante analogo a quello considerato precedentemente. E utile anche sapere che se 
la funzione f è imprimitiva (^*), tale è pure la sua coniugata. 
Denoteremo con u la funzione numerica che ha costantemente il valore 1. 
Il prodotto integrale di f per u dicesi 1’ integrale numerico di /', e si denota con ^f: 
jf(,» 2 ■ 
rf 
La coniugata di u è la funzione [c di Mòbius , che ha un valore diverso da zero 
quando il suo argomento è composto di fattori primi tutti diversi ; in questo caso il suo 
valore è I o — l, secondo che il numero dei detti fattori primi è pari o dispari. 
Il prodotto integrale di f per [c dicesi la derivata numerica di f, e si denota con 
df. Essendo a, h, c, .... i diversi divisori primi di n, risulta dunque 
sn„)=f(n) - + ... 
Sì ha 
j3f =3 j f = f. 
(*) Si hanno delle forinole adatte per il calcolo della coniugata, v. la Meni. cit.. n. 5. 
(xsi) Una funzione / si dice iinprit/ii/icuì se per ogni coppia di numeri m, n ininii fra loro si lia 
f (vni) f {lìi) . f ( il) , e si dice romf>osla se questa proprietà sussiste qualunque siano »i ed n. 
