Meuiorìa Xlll. 
Sulle derivate delle funzioni di linee inverse 
Nota di E. DANIELE 
1. La relazione 
f{x) = f 
( 1 ) 
definisce la /' come funzione di tutti i valori di cp (q) fra 0 e x, nonché della variabile a:; 
inversamente essa permette di pensare la cp come funzione, oltreché di .r, di tutti i valori 
di f{^) fra 0 e .r. Ammesso che nell’intervallo (0, a:) esista, almeno generalmente, la de- 
rivata della / rispetto a <p, si può domandare se esista pure la derivata di cp rispetto ad f, 
e quali relazioni esistano fra queste due derivate. 
Tratteremo il problema dettagliatamente in due casi particolarissimi, supponendo che sia 
f{x) = cp (.r) (I» {xy) cp iy) dy , (2) 
oppure 
f{x) = (xy) (y) dy ; (2') 
vedremo però subito, nelle Osservasioni ai n.‘ 2 e 5, come i risultati ottenuti si esten- 
dano a casi molto più generali, che si distinguono solo per il modo in cui la f, data 
dalla (1), forma la sua variazione. 
2. Cominciamo a supporre che f{x) sia data come funzione di cp(3>) mediante la (2). 
La derivata di f rispetto a cp é allora finita in tutto 1’ intervallo (0, x) eccetto che in .r, 
ed é espressa da 
/' 
^(y), 
= <I> Lr , rfi 
(3) 
Risolvendo la (2) rispetto a cp, se si chiama il nucleo risolvente di {xy), si 
ottiene : 
cp Lr) = f{x) -f F{x.s) f{s) d.B , (4) 
da cui segue la formula analoga alla (3): 
'•P'I|/'W, = F(x, >;) 
(3’) 
ATTI ACC. SERIE V. VOL. Vili — Mem. XIII. 
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