Sulle derivate delle funzioni di linee inverse 
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la precedente diventa : 
/; {x) — cp^ {x) + 7 (x'/j) cp, c^) d-q , 
che è dell’identico tipo della (2); risolvendola rispetto a cp, si trova, chiamando k{x'q) il 
nucleo risolvente di /(x'.'/j) ; 
cpi {x) = f, ix) -h ^ fi i'n) , 
ovvero, ricordando le (6) : 
^cp (x) 
'^/{x) , [oc k [xr^ 
a (. t ) 
+ io 
a Cq) 
¥Co) d-q , 
e questa mostra che si ha : 
/“(c), X, -q 
k jx-q) 
a i:q) 
Il principio di reciprocità applicato ai due nuclei 7(x'/]) e k{x'r^ conduce quindi, in 
virtù deir ultima forinola e della terza del sistema (6), alle seguenti due equazioni fra 
f (x-q) -f n(x) a {-q) cp' {x'q) — —a {'q) f cp' = — a (n;) 9 f , 
? / ■? f / ? 
che comprendono come casi particolari la (5) e la (5')- Si può notare che e 9'^ sono 
permutabili, se a si riduce ad una costante. 
Aggiungiamo che l’ osservazione 1''^ è applicabile anche al caso più generale ora 
studiato. 
3. Passiamo al caso della f definita dalla (2'). Derivando i due membri della (2') ri- 
spetto ad X, e ponendo (*) 
f (X) 
{xx) 
-- (x) , 
1 
<I> {xx) 
9<I> (xy) 
dx'^ 
H {xy ) , 
( 7 ) 
la (2') si riduce alla forma 
cj>(.r) <p(nr) -f- H (xy) cp {y) dy) , 
( 8 ) 
(*) Cfr., anche per la riduzione del n. seguente: Volterra, Lecons sur les éqiiations intégrales etc. ; 
eh. il, I III. 
