Sulle derivale delle funsiuni di linee inverse 7 
Ciò posto, sostituiamo nella (13) ad 7/ ed a le espressioni date dalle (14') e (ló) ; 
otteniamo ; 
l,^^9f{.vs)ds = - dsl^<p;0rl) dt] 
trasformando il secondo membro colla formola di Dirichlet e riducendo 
dx 
/ X 
^ a^'rixs) f'^[sy) ds , 
(17) 
o brev^emente 
' Jjf 
Derivando poi la (13') rispetto a y si ottiene : 
/ — s o r('S'v) d^ = / ^ • -, — ■ ds / rixl) di , 
J,j dx ‘ ' -’v d.s 9v ' ’ 
e trasformando il secondo membro ancora colla formola di Dirichlet 
r 
y a 
dx 
t'i M 'te = C 
3/' (.jv) 
yxB) — ds 
CV 
(17') 
Le (17) e (17') sono le relazioni cercate fra le derivate f’^ e In generale, a dif- 
ferenza del caso (2). le e cp' - non entrano simmetricamente nelle (17) e (17'); queste 
t 
difatti sono equazioni integrali in cp' -, ed integro-differenziali in f 
La (17') si riduce alla condizione di permutabilità di !“■ specie fra e , 
quando 
dv 
dx 
dv 
cioè quando ossia (X 3 O, dipende dalla somma -v-|- 3 ' 
IJn altro caso notevole si presenta supponendo 
<1> (.r, y) = O (u’ — 3 ') ; 
allora tutte le funzioni di .r e v che figurano nel nostro calcolo dipendono dalla sola dif- 
ferenza .r — 3 ', e quindi, come è noto (*), son tutte permutabili (di D specie) fra di loro. 
La (17') si può sostituire colla 
// / _ / /‘/ 
/ (p ?/ — ?/ / cp ’ 
(18') 
(■») Cfr. VOLTERRA: Op. cit.; eh. IX, n. 6. 
