Sulle derivate delle funsioui di linee inverse 
y 
e questa, col porre 
f'M) 
0 {;XX) 
= ^ iX) , 
J 
<Ì> [xxi] 
3^1> {xy) 
dx 
= H{xy), 
( 20 ’) 
dà luogo alla 
(X) = cp, {x) 4- H {xy) (p,(30 dy , (21) 
da cui, risolvendo rispetto a 'f j : 
?i(-4 = (-^v) 'l'(3') <()'• '21’) 
Le (21) e (2L) hanno la stessa forma delle (8) e (8') del n. 3, onde si avrebbe la 
derivata di rispetto a /j espressa mediante la (9). 
Ma è facile vedere come la (9) dia ancora la derivata di 9 rispetto a f. Difatti , te- 
nendo conto delle (20) e (20'), la (21') si scrive: 
O [xx) 
jL 
dy 
^fiy) 
con 
(1) {yy) 
ijfiy) dy , 
X(^) 
V" jx) 
O {XX} 
4~ §/(^') 
'L {xx} 
<I) {xx} 
of{0} 
0 ) 
<I>(0,0) 
( 22 ) 
Dalla (22) segue senz’ altro la (9), per ogni punto •/; interno all’ intervallo (0, a:) ; 
intanto si ha pure : 
? 
— cp, 
-D -/j 
Non si potranno invece scrivere, nel caso attuale, le (9') e (9"), perchè 'F non rap- 
presenta più la derivata funzionale di <p rispetto a 
Passando poi alle forinole dal n. 4, si vede che vale ancora la (12), ma la (12') sarà 
valida soltanto a condizione di costruire le funzioni ^ e y, mediante le 9 ^ e invece che 
mediante le <p e f. 
Per ciò che riguarda i risultati del n. 5, cioè le relazioni fra f e cp' -, non vi è nulla 
t X 
da mutare a quanto si trovò in quel caso particolare. Basta difatti notare che sussistono 
le (13) e (13') per i nuclei delle (21) e (21'), e questi, dopo quanto s’ è visto ora, sono 
sempre legati alle derivate in questione dalle (14). .Sicché, ridotta la <I> (che è nota, quan- 
do / sia data come funzione di 9) a soddisfare alle condizioni (15), si può concludere che 
fra /',^ e 9'^ passano le relazioni (17) e (17'). 
