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Giuseppe Mariella 
[Memoria XIV.] 
E chiaro poi che 
6‘) se Y possiede due o più fasci di coniche, siccome uno qualunque di questi (anzi 
ciascuno) è, evidentemente, razionale, così (Noether) anche la superficie y è razionale. 
2. D’ ora in poi indicheremo con [j- la classe dell’ inviluppo (x) costituito dai piani 
contenenti coniche del fascio (/r), e con 5 il numero di queste poste in uno generico dei 
piani di (x). 
V’ogliamo dimostrare che è sempre <C — l- 
Infatti indichiamo con w un piano generico dello spazio ambiente. Le coniche del 
fascio [li) segnano sulla curva (irriducibile) yw, un’ involuzione I\ ; indicheremo con pi il 
genere di questa e con p^. il genere della detta curva. Proiettando da un punto generico P 
di co le coppie di punti coniugati di /-l, si ottiene nel fascio (P, oi) una corrispondenza (;/,») 
della quale, coni’ è facile comprendere, le 2ìi coincidenze sono: le tracce in co dei \>. 
piani di (x) passanti per P, ciascuna contata 2s volte, le S rette che da P proiettano i 5 
punti doppi di II, e le rette, contate due volte, che da P proiettano i punti (distinti 
o no) della curva yco, in ognuno dei quali vengano a cadere (su due rami) due punti fra 
loro coniugati della II medesima. 
Si ha dunque (®) 
2n = 2\i.s-\~h-\-2ii, 
ove è o = 2(pf,-^rV — 4pi . 
Or siccome la congruenza generata dalle tangenti delle coniche di [k) è di classe 3 i>0, 
cosi possiamo asserire che in ogni caso è \i-<C. n', osserviamo anzi che l'ipotesi \i--n — l 
conduce ad un assurdo. Infatti per \i=-n — 1, e quindi s~J, ^ — 2, e h'=0, la detta 
congruenza sarebbe la duale di una congruenza d’ordine 2, di classe 2\i., e dotata di 
una curva irriducibile singolare d’ ordine [J-, mentre, per quanto è noto cii'ca le congruenze 
d’ ordine 2, siffatta congruenza non C^) esiste, e ciò perchè è [j. > 5, e le rette della con- 
gruenza uscenti da un punto generico della detta curva singolare, devono costituire un 
cono quadrico irriducibile. 
Concludiamo dunque che 
i piani di qualunque fascio di coniche {generalnienle irriducibili) esislenle sopra 
una superficie d' ordine n 2> 4, costiluiscono un inviluppo di classe n — 1. 
3. Nell’ ipotesi che l’ inviluppo (x) sia stellare, è facile dimostrare direttamente, consi- 
derando una retta genericamente condotta per il suo punto base V, che 
a) se V non appartiene alla superficie Y, allora è |jl — <C — 2\ 
b) se V è /-pio per y, ma non è punto base del fascio {k), allora è |j. = 
n—l 
2s 
<//- 
c) 
\ Il l r 
se F è /-pio per y, con lf>2, ed è punto base di (/r), allora è \>. = — ^ ^ 
P) Compiuto il presente lavoro mi accorsi che il procedimento ora tenuto è il medesimo di quello adottato 
dal SEGRE, nel n® i del classico lavoro « Recherches générales sur les courbes et Ics surfaces régh'es 
algébrigues » [Mathematische Annaien, Band XXXIV, 1889]. 
(') D. MONTESANO « Sic due congruenze di rette di ordine c di 6^ classe *• [Rendiconti della R. 
Accademia dei Lincei, voi. I, serie 5®-, 1892]. 
(q Tutto ciò d’ accordo col teorema stabilito in fine del n° precedente. Si noti che se (x) ha, oltre di F, 
un altro punto base, allora è p.rzi. 
