Sulle superficie algebriche con infinile coniche, e, in particolare, ecc. 
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d) Osserviamo, infine, che se F è punto base del fascio {k) ed è s—I, esso non 
può essere semplice per la superficie f, perchè ne verrebbe di conseguenza \>. = n — /, e 
ciò è (n° 2) assurdo. 
4. Superficie con infinite coniche e d’ oi'dine qualunque si costruiscono col seguente 
procedimento geometrico. 
Siano {'K.) e (.;r) due sistemi irriducibili oo^ , di piani il primo e di quadriche (gene- 
ralmente irriducibili) il secondo; dicansi i-i. e v rispettivamente i loro indici. 
Supponiamo che sia stabilita fra i loro elementi una corrispondenza ip,s); il luogo 
della conica comune a due elementi omologhi, è una superficie Y con oc^ coniche (gene- 
ralmente iniducibili). Queste son tali che in ogni piano di ne esistono s, e ad ogni 
quadrica di (.r) ne appartengono p. 
L’ oi'dine di Y (irriducibile o no) è n = 2\is 
Generalmente la multiplicità per y di un punto base soltanto per (x) è jj-s ; la multi- 
plicità di un punto base soltanto per (ti) è v^; la multiplicità, infine, di un punto base per 
ambidue i sistemi (tì) e (x) è [xs-j-vp (®). 
5. Evidentemente se {%) e (x) sono in posizione generica fra loro, e se la corrispon- 
denza (p.sj stabilita tra i loro elementi è generica, la superficie Y (u” 4) è iniducibile. Ma 
nell’ ipotesi contraria da y potranno staccarsi uno o più piani, rimanendo una superficie y', 
con infinite coniche, d’ ordine n' <f n. 
Viceversa vogliamo ora dimostrare che ogni superficie y^ con infinite coniche, è sem- 
pre generabile, in certo qual modo, come si disse nel n” 4, insieme però con un certo 
numero di piani. 
Infatti si dica (k) un fascio (n® 1, b) di coniche di y', e queste sian tali che ad s ad 5 
appartengono ai piani di un sistema (•jt) d’ indice [j.. Scelto un punto generico A dello 
spazio ambiente, si proiettino da A le coniche di (k) ; si otterrà un sistema (x) oo^ di 
coni quadrici. Indicando con n' 1’ ordine di y', ù sistema (x) è d’ indice v =; n', perchè una 
retta genericamente condotta per A, seca y' ùi n punti per ognuno dei quali passa una 
(sola) conica di (/^), la quale proiettata da A dà un cono di (x). 
Inoltre dicendo corrispondenti un piano di (x) e un cono di {x) ogni qual volta ab- 
biano in comune una conica di {k), è chiaro che fra gli elementi di (x) e quelli di (x) 
esiste una corrispondenza (7, s). Infine se x^ è uno dei |c piani di (x) passanti per A, ogni 
suo cono corrispondente coincide con x^ stesso contato due volte. Dunque il luogo della 
conica comune a due elementi omologhi di (x) e (x), è costituito da y' e dai jx piani di (x) 
passanti per A f). 
Concludiamo quindi che 
ogni superficie con infinite coniche può essere considerata come il luogo della 
curva comune a due elementi corrispondenti in due sistemi cx3\ uno di piani e 
uno di coni quadrici aventi, questi, uno stesso vertice, a prescindere da un certo 
numero di piani passanti per questo medesimo punto. 
(' 5 ) Se il sistema (-D è, in generale, un sistema di superficie d’ordine m, allora f risulta dotata di 
curve piane d’ordine w. Essa sarà d’ordine n = m.\is -j-y/), e le sue multiplicità nei punti base di (tc) o di (.v), 
0 dei punti base per ambidue questi sistemi, saranno quelle stesse dette nel testo. 
P) Ciò d’accordo col fatto che la superficie '(, luogo di detta conica, è (n° 4) d’ordine « = q- e 
ognuno dei t 1 piani di (x) passanti per A è da contare 2s volte- 
