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Giuseppe Mariella 
I Memoria XIV.] 
6- Sia n ^ /, cioè supponiamo che l’inviluppo {t), costituito dai piani delle coniche 
di (/i), sia un fascio; indicheremo con r l’asse di questo. 
Se diciamo p la multiplicilà di r per “i, questa superfìcie è evidentemente d’ ordine 
Cominciamo a considerare l’ipotesi per la quale non esista alcun punto fisso (della 
punti (distinti o no) ognuno comune a due delle coniche lungo le quali t: seca ulterior- 
mente 'f. Questi punti sono evidentemente doppi per questa superfìcie. 
ogni sìiperficie irriducibile y d' ordine n — 2s-{-p avente una retta r ^-pla, e tale 
che la sua ulteriore inler sezione con un piano genericaniente condotto per questa 
abbia 2s (s — 1) punti doppi {distinti o no), possiede un fascio di coniche (general- 
inente irriducibili) situate, ad s ad s, nei piani passanti per r. 
Infatti giacche è, per ipotesi, iri iducibile, la curva g ulteriore intersezione di questa 
superfìcie con un piano r. genericamente condotto per r , si deve spezzare in un certo 
numero A’ di curve, tutte irriducibili, formanti uno stesso sistema algebrico (irriducibile), e 
quindi aventi tutte uno stesso ordine x. Ciò posto dimostreremo che condizione necessaria 
(ed evidentemente sufficiente) affinchè sia 2s[s — 1) il numero dei punti doppi di è che 
sia x = 2, cioè che g si spezzi in 5 coniche. 
punti doppi, cioè un numero maggiore di 2s (s — 1). 
Nell’ipotesi, poi, di x2>2, e che ciascuna delle componenti irriducibili di avesse il 
massimo numero possibile di punti doppi (distinti o no), la curva g avrebbe 
punti doppi, e questo numero è minore di 2s{s — 1). 
Possiamo dunque concludere che effettivamente la curva g si spezza in s coniche 
irriducibili. 
Si osservi che dalla fatta dimostrazione si deduce che se la curva g ha 2s{s — l) 
(e non più) punti doppi ognuno non infinitamente vicino ad r, allora f o possiede infinite 
coniche irriducibili, ad 5 ad 5 nei piani per r, ovvero è rigata, e in tal caso siccome g 
possiede .s punti doppi in r, così ad ogni punto di questa retta sono infinitamente vicine 
una o più rette doppie infinitesime di '( (®). 
7. Esistono certamente (n° 4) superfìcie y come quella del n" precedente ; anzi sap- 
piamo costruire (n° 5) qualunque siffatta superficie f. 
P. es. nel n“ 4 si ponga s = 3, 'i = 2, p = l (e ottei'remo una superficie f 
d’ordine n — 8, avente una retta r doppia, e tale che ogni piano passante per questa seca 
ulteriormente 'i' in tre coniche. Viceversa, ogni superfìcie irriducibile d’ordine n — 8, con 
una retta doppia, e tale che un piano genericamente condotto per questa la sechi ulterior- 
mente in una curva con 12 punti doppi (distinti o no), possiede (n° 6) un fascio di co- 
d') Si pensi, p. es., alla rigata gobba li’ ordine 11 = 4, 6 ^ specie di CREMONA e s'*' specie di CAYLEY ; 
essa è tale che mia sua sezione piana generica ha un tacnodo nella retta direttrice doppia. 
retta r) comune a tutte le coniche di (k). Allora in ogni piano ~ esisteranno 4 ( o) —2s[s—l) 
Viceversa 
E invei'O per x — / \a g sarebbe composta di 2s rette, e quindi essa avrebbe 
