Sulle superfìcie algebriche con iìi finite coniche, e, in particolare, ecc. 
5 
niche iiTiducibili, e precisamente in ogni piano condotto per la retta doppia esistono tre 
coniche della superfìcie. 
8. Supponiamo ora (n® 6) che il fascio [k), delle coniche di '( complanari con r, abbia 
un punto base A (di r). 
La superfìcie y è dunque d’un certo ordine n =2s -|- p, con r p-pla, e avente come 
(5 -|- p)-plo il punto A. Ne segue che due qualunque coniche di (k) poste in uno stesso 
piano del fascio (tì), hanno soltanto ti'e punti vaiàabili comuni, onde, oltre di A, in ogni 
piano esisteranno [ p | punti (distinti o no) ognuno comune a due delle 5 coniche lungo 
le quali t: seca ulteriormente 7. Questi punti sono evidentemente doppi per questa su- 
perfìcie. 
Viceversa 
ogni superficie irridncibile 7 d' ordine n=:2s-[-p, con rella r <^ pla e nn punto A 
(s + ^)-plo in questa, tale che la sua ulteriore iutersesione con un piano generi- 
caniente condotto per r abbia, oltre di A, 3 l j punti doppi {distinti 0 no), possiede 
un fascio di coniche [generalmente irriducibili) situate, ad s ad s, nei piani con- 
dotti per r, e tutte passanti per il punto A. 
Questo teorema si dimostra in modo perfettamente analogo a quello del n° 6, tenendo 
conto che le y componenti irriducibili della curva g , devono avere tutte la stessa multi- 
plicità nel punto A, e ciò perchè esse devono formare uno stesso sistema algebrico (irri- 
ducibile). 
9. P. es. nel n° 4 supponiamo che {x) sia un sistema (oo^ irriducibile) d’ indice v = 3 
di quad riche tutte passanti per una cubica gobba c. La retta r, asse del fascio (~), incontri 
in un certo punto A la curva c. 
Stabilita fra gli elementi di (t:) e quelli di (x) una corrispondenza (1, 2), cioè (n° 4) 
posto s — 2 e p — 1, la superfìcie 7 è (n° 4) d’ordine n—7, ha come doppia la cubica c, 
come tripla la l'etta r; inoltre per essa il punto A è quintuplo. Ogni piano condotto per r 
seca ulterioi'mente 7 in due coniche, generalmente irriducibili, passanti per A ; queste ge- 
nerano quindi, al variare del piano, un fascio avente lo stesso genei'e di (x) , e quindi 
razionale o ellittico. Viceversa ogni supei'fìcie irriducibile d’ ordine n = 7, con retta r tripla 
e un punto A quintuplo (in questa), tale, inoltre, che la quartica ulteriore intersezione di 
essa con un piano genericamente condotto per r, abbia, oltre di A, tre punti doppi, pos- 
siede (n° 8) un fascio di coniche iri-iducibili situate, a due a due, nei piani condotti per r, 
e tutte passanti per il punto A. 
In particolare la cubica c potrebbe spezzarsi in tre rette d^, d^, d^, (non complanari) 
passanti per uno stesso punto O, che sarà quadruplo per 7. In tal caso, supposto che il 
punto A appartenga a può stabilirsi che uno dei due coni di (.x) corrispondenti al 
piano nf di (■:^), si spezzi in questo stesso piano e nel piano d^d.^. Ne segue che da 7 si 
stacca il detto piano luf, e rimane una superfìcie 7' d’ordine n'~6, per la quale d^ e d., 
son doppie, d^ è semplice, r è doppia, il punto 0 è triplo e il punto A è quadruplo. 
10. Supponiamo, infine, che il fascio {k) abbia due punti base A o. B (di r) (®). 
(®) Si ottiene una superficie siffatta supponendo, p. es., che nel n® 4 il sistema fìr) abbia due punti 
base A Q B sulla retta r asse del fascio (n:). 
