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Giuseppe Mcuietla 
[Memoria XIV.] 
La superficie 7 è cf un certo oixiine ìi — 2s~\~\i, con r p-pla, q A e. B (5-f-p)-pli. Ne 
segue che due qualunque coniche di (k) poste in uno stesso piano condotto per r, hanno 
soltanto due punti variabili comuni, punti che sono doppi per 
Viceversa 
og/fi superficie irriducibile 7 d' ordine n =r 2s-|-p con reita r [i pia, e due punti A e 
B (s-[-p)-/;// in questa, tale che la sua ulteriore intersezione con nn piano generi- 
caniente coìidotto per r abbia, oltre di A e B, -s (s — \) punti doppi (distinti 0 no), 
possiede un fascio di coniche (generalmente irriducibili) tutte passanti per A e B, 
e, ad s ad s, situate ìlei piani condotti per r. 
La dimostrazione di questo teorema è perfettamente analoga a quella data nel n. 6, 
tenendo conto che le y componenti irriducibili della curva g, devono tutte avere la stessa 
multiplicità in ciascuno dei punti e 5 , e ciò perchè esse devono formare uno stesso 
sistema algebrico (irriducibile). 
IL Applichiamo, p. es., la costruzione del n® 4 supponendo che (r:) sia un fascio di 
asse r, e (x) un sistema (irriducibile e oo^) d’indice v di coni quadrici, di vertice V, tutti 
passanti per due punti A e B di r ; che ammetta, inoltre, il piano Vr, contato due volte, 
come cono 5- pio, e, infine, che sia dotato di una ^1,. avente il cono 2Vr come elemento 
s-plo. Si stabilisca ora una corrispondenza biunivoca fra gli elementi di e quelli della 
detta serie in modo che al piano Vr di ( 7 ) coi’iisponda il gruppo di costituito dal 
cono 2Vr contato 5 volte. 
Il luogo della curva comune a due elementi coirispondenti è (n° 4) una superfìcie 7 
d’ordine n = 2s-\-'^, avente la retta r v-pla, i punti A e B (5-j-v)-pli, le rette VA e VB 
s-ple, e il punto V i?5-plo. Ma da f si stacca il piano Vr contato 2s volte, quindi rimane 
una superfìcie '( d’ordine //' = v, avente la retta r (v — 2 sy)-pla, i punti Ae B (v— .«V-pli, 
e non passante per V (e quindi nemmeno per VA e VB). Ogni piano ìì condotto per r 
seca '( in * (**) ' coniche tutte passanti per A q B, onde la curva ulteriore intersezione di 7 
con ", possiede, oltre di A e B, s{s~l) punti doppi (distinti o no). 
\4ceversa ogni superfìcie 7' siffatta, cioè d’ordine ji' = v, avente r (v — .2s)-pla, A e B 
(v — 5)-pli, e tale che un piano genericamente condotto per r la sechi, ulteriormente, in una 
curva che abbia, oltre di A e B, s{s—I) punti doppi, possiede (n“ 10) un fascio di coniche 
(generalmente irriducibili) tutte passanti per A e B, e, ad 5 ad s, situate nei piani con- 
dotti per la retta r (^L. Lssa quindi si può (n° 5) costruii'e come poco sopra si è detto. 
In particolare per v — 5 ed s = 2, 7' è una superfìcie d’ordine n'= 5, avente la retta r 
semplice, tripli i punti A e B di questa, e dotata di un fascio {k} di coniche (generalmente 
irriducibili) tutte passanti per A e B, e situate, a due a due, nei piani condotti per r. In 
ogni piano, dunque, passante per questa retta, esistono due punti variabili doppi per 7'; 
supponendo questi infinitamente vicini o no, sia tra loro sia ad A e B, punti che alla loro 
volta possono essere infinitamente vicini o no, si ottengono superfìcie note (*^). 
Si noti che (x) e (k) hanno lo stesso genere pp, inoltre siccome (.v) è dotato di e 
di elemento doppio (ed è v = 5 ) h pi <( 3. 
("’} Si noti che .se è 2i > v la retta r non appartiene a (. 
Ch Dunque ogni superficie 7' siffatta è generabile come è (.ietto nel n" 5. 
(**) BERRY, On cerlain QiUnlic Surfaees lukich admit of Inlegraìs of thè l'irsl Kind of Total 
reutials [Cambridge Philosophical Transactions, t. XIV e XX] ; e DE FRANCHIS, 1 . c. in ('). 
