Sulle superficie algebriche con infi itile coniche, e, iti parlicolare, ecc. 
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12. Consideriamo ora l’ipotesi che le coniche di {k) appartengano alle quadi'iche di 
un fascio U'), essendovene p in ognuna di queste; indicheremo con /la quartica base di (a:). 
Se diciamo (p la multiplicità di f per '{, questa superficie è evidentemente d’ ordine 
n — 2'j^-fip. 
Cominciamo ad esaminare l’ ipotesi per la quale non esista alcun punto fìsso (della 
quartica f) comune a tutte le coniche di {k). Allora in ogni quadrica n; esisteranno 
]=p{p — 1) punti (distinti o no) ciascuno comune a due delle p coniche lungo le 
quali :r seca ulteriormente 7 . Questi punti sono evidentemente doppi per questa superficie. 
Viceversa 
ogni superficie irriducibile 7 d'ordine n=: 2 cp-j-p, avente come (ù-pla una quartica 
gobba di 7® specie f, e tale che la curva sua ulteriore sesione con una generica 
quadrica passante per f, abbia p(p -l) punti doppi, possiede un fascio di coniche 
(generalmente irriducibili) situate <7 p « p, nelle quadriche passanti per f. 
Infatti una quadrica x condotta genericamente per f, seca 7 in una curva d’ordine 
2(2(s^-\-p), la quale è composta della quartica / contata cp volte, e di una curva residua 
d’ ordine 2p. Che questa, poi, sia costituita da p coniche, irriducibili, si dimostra mediante 
la rappresentazione piana di x, e con ragionamenti analoghi a quelli del n° 10 (^^). 
13. Applichiamo, p. es., la costruzione del n° 4 supponendo che (.x") sia un fascio 
avente per curva base una quartica f , e (ir) sia un sistema (irriducibile e 00 ^) d’ indice 
|j. = 5 ; supponiamo inoltre che fra gli elementi di (x) e quelli di (tt) sia stabilita una cor- 
rispondenza biunivoca. La superficie 7 risulta d’ordine 11 = 5, ha come doppia la quartica/, 
e contiene un fascio di coniche tali che in ogni quadi'ica passante per questa ne esiste 
una sola. 
.Si ponga (n° 4) ora = 2, S — 1, p~ 2.\^&. superficie 7 è d’ordine n — 6, ha come 
doppia la quartica gobba f e contiene un fascio di coniche tali che in ogni quadrica pas- 
sante per questa ne esistono due. 
14. Si applichi la costruzione del n° 4 nell’ipotesi di v = 7 , supponendo inoltre che 
esista un punto base A di (it) posto nella quartica / base del fascio (x). Allora tutte le 
coniche del fascio {k) passeranno per A, punto che ha (n° 4) la multiplicità [xs ~\~ p per la 
superficie 7 . 
P. és. si faccia \\.~2,s — l, p = 1 \ 7 è una superficie d’ ordine 11 = 5, ha come 
doppia la quartica /, e come triplo il punto A di questa (^^). 
15. Si osservi che ogni superficie 7 d’ordine n — 2'i^-fip avente come 'f-pla una quar- 
tica gobba di specie, e tale che una quadrica genericamente condotta per questa la 
sechi ulteriormente in una curva dotata di p (p — 1) punti doppi, onde essa superfìcie pos- 
siede (n° 12 ) un fascio [k) di coniche generalmente irriducibili, è generabile come si disse 
nel n° 5, sostituendo al sistema (x) di coni quadrici il fascio delle quadriche passanti per 
la quartica /. Anzi se non esiste alcuna di queste spezzata in due piani, 7 sarà il luogo 
(^^) Si noti che qualunque retta di .a.- è corda di /, e quindi incontra ulteriormente 7 in p punti. 
(‘•‘) Per /spezzata in una cubica (gobba) irriducibile e in una corda di questa, si ottiene una superficie 
nota. Vedi 
G. APRILE, Sulla varietà, dell' S.\, del quarto ordine con rigata cubica normale doppia [Atti dell'Ac- 
cademia Gioenia, Catania, serie 5 '*', voi. VII] n° 36. 
