8 
Giuseppe Mariella 
[Miìmoria XIV. 1 
totale della conica comune a due elementi corrispondenti, uno del fascio (.X") di base /", e 
r altro dell’ inviluppo (tì) costituito dai piani delle coniche di (/<,'). 
16. Un caso particolare notevole di quello del n“ 12 si ottiene ponendo — P cioè 
supponendo che i piani delle coniche di (A’) formino pure un fascio (il cui asse r non sia 
parte della quartica /'). 
Che effettivamente esista una superfìcie f nelle attuali ipotesi, segue dalla costruzione 
del n° 4 ponendo jr — v = /. 
Anzi, più in generale, possiamo suppoi-re che (.r) sia un generico fascio di superfìcie 
d’ordine w ^ 2 , aventi tutte come (in — .?)-pla una certa retta e che sia stabilita una 
corrispondenza (p, 5) fra i piani del fascio (tu) di asse r e le superfìcie di (.^r). 
Un qualunque piano di (k) seca ulteriormente ognuna delle sue s superfìcie cori ispon- 
denti, in una conica, il cui luogo, al variare del piano, è una superfìcie '( (irriducibile o no) 
d’ordine u — ius-l-p, per la quale è (/// — 2)s~j-p la multiplicità di r, ed è 5 la multi- 
plicità della curva /', d’ordine 4 [ni — /), la quale insieme con r contata (/// — 2 )^ volte, co- 
stituisce la base di (m). 
.Se la corrispondenza stabilita fra i piani di (x) e le superfìcie di [x) è generica, il fa- 
scio (le) delle coniche ognuna comune a due elementi omologhi, è di genere p^ — ps — 
— p — s -j- i. 
P. es., per ni = 3 , p = s~ 2 , la superfìcie y risulta d’ordine 11—8, con r qua- 
drupla ; il fascio [k) risulta (genei'almente) ellittico (^'^). 
17. Viceversa vogliamo dimostrare che 
se una superfìcie irriducibile 7 d'ordine n = ms -|- p, ha come curve multiple sol- 
lanto una retta r \ (m — 2) s -)- p \pla, e come s-pla una curva f\ d’ordine 4(m — 1), 
che insieme con r, contata (m — 2)’ volte , costituisca la base di un fascio di su- 
perficie [x] d’ordine m con r (m — ‘1) pia (‘“), allora essa superficie possiede infinite 
coniche (generalmente irriducibili) tali che in qualunque piano passante per r ne 
esistono s tutte appartenenti ad un fascio, e in ognuna delle superficie sopradette 
ne esistono p (‘^). Inoltre 7 è sempre costruibile come il luogo della curva comune 
a due elementi omologhi in due fasci, uno di piani e V altro di superfìcie d’ ordine 
m con r (m — ‘l)-pla, fra i cui elementi esista una corrispondenza (p, s). 
Infatti un piano x condotto genericamente per r, seca ulteriormente 7 in una curva 
d’ ordine 2 s, la quale ha come ,<?-pli i quattro punti x/ non appai'tenenti ad r. Ne segue 
senz’ altro che la detta curva si spezza in 5 coniche di un fascio. 
Che poi la superfìcie 7 si possa costruire come si è detto , vien dimosti ato dal se- 
guente ragionamento. 
.Sia M un punto di una c delle 5 coniche che 7 ha in x ; per M passa una (sola) 
superlìcie del fascio [x), superfìcie che è ulteriormente secata dal piano x in una conica, 
e questa, dovendo passare per M e pei quattro punti x/' non appartenenti ad r, coincide 
con c. Dunque a x possiamo far corrispondere le 5 superfìcie di (x) passanti per le .s 
coniche di 7 in esso poste. 
(*■’) Per interessanti superficie irrazionali d’ ordine 6, 7, 8, dotate di infinite coniche, vedi il lavoro di 
G. SCORZA, Le superfin'e a curve sezioni di genere j. [Annali di Matematica, serie 3“ , tomi XVI e XVll., 
Milano]. 
e per ni — 2 come (/> + i)-pli gli eventuali punti comuni ad r ed /. 
C^) tutte aventi, per ni — 2, due punti (di r) comuni. 
