Sulle superficie algebriche con infinite coniche, e, in particolare, ecc. 
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Viceversa data una superfìcie .r di (a.’) , essa seca la superficie 7 , fuori di r ed f, in 
una curva / d’ ordine 2p ; ebbene questa si spezza in p coniche ognuna complanare con 
r. Infatti sia N un suo punto qualunque ; il piano x' = Nr seca 7 in s coniche una delle 
quali, sia c', passa per N e pei quattro punti, fuori di r, izf. Ma ri seca ulteriormente x 
in una conica, sia c” , anch’ essa passante per N e per questi quattro punti, dunque le 
dette due coniche c e c" coincidono, cioè la conica c di 7 coincide con la conica c" di x, 
onde c fa parte della curva 7X, e quindi della curva /. Ecco dunque che / è composta 
di p coniche ognuna complanare con r, e di conseguenza alla superficie x corrispondono 
p piani del fascio (tì) di asse r. 
Possiamo dunque concludere che la superficie 7 si può generare stabilendo una 
corrispondenza [p, s) fra gli elementi dei fasci (x) e (x). 
18. Si ponga ni = s — 2 ìì p = 1 -, la superficie 7 è d’ordine n~5, ha una retta r 
semplice, una quartica gobba di l®' specie / doppia, ed è ulteriormente secata in coppie 
di coniche dai piani passanti per r 
Sia m — s-=^ p — 2 ; 7 è d’ordine n = 6, ha come doppie la retta r e la quartica f. 
Ogni piano passante per r seca ulteriormente 7 in due coniche, le quali generano, al va- 
riare del piano, un fascio {/>?); questo è ellittico se la corrispondenza (2,2), esistente fi'a 
(x) e (x), è generica. 
Sia s = 3 & p = 1 la superficie 7 è d’ ordine 11 — 7, ha una retta r semplice, una 
quartica gobba di 1 ” specie / tripla, ed è ulteriormente secata in tie coniche di uno stesso 
fascio da ogni piano passante per r. 
19. Supponiamo ora che esista un punto A della quartica f (n° 12), comune a 
tutte le coniche di (k). 
Se, ancora, 7 è d’ordine n~2(s^-'- p, con / ©-pia e p coniche (variabili) di (k) in 
ogni quadrica del fascio (x), il punto A è evidentemente (cp-j-/))-plo per 7 ; inoltre in ogni 
quadrica di (x) esistono punti variabili doppi per questa superficie. 
Viceversa è facile dimostrare, analogamente a come si fece nel n“ 12, che 
ogni superficie irriducibile 7 d’ordine n= 29 ~{-p, avente come ^-pla una quartica 
gobba di specie f, come (cp p)-plo un punto A di questa, e tale che ogni qua- 
('*) Più in generale supponendo che (jt) sia un generico fascio di superficie d’ordine m con la retta r 
/-pia, si ottiene una superficie 7 d’ordine dotata di un fascio [k) di curve piane d’ordine m — /, 
situate ad s ad s nei piani di un fascio (<r), con la retta r, asse di questo, multipla secondo e avente 
come j-pla la curva/, d’ordine — /^, la quale, insieme con r contata fi volte, costituisce la base di (.r). 
Se la corrispondenza stabilita fra i piani di (") e le superficie di (.v) è generica, il fascio (k) è di gene- 
re pi = ps — p — s + 1. 
Viceversa, con ragionamenti come quelli di questo n° 17 del testo, si dimostra un teorema analogo a 
quello stabilito in questo stesso n®. 
P. es. si ponga m=j, s = 2, p—i, i:=^o\ la superficie 7 è d’ordine n — j, ha una retta r semplice, 
come doppia la curva / base di un fascio di superficie cubiche, ed è ulteriormente secata in due cubiche da 
ogni piano passante per r. 
Nel caso particolare di/ spezzata in una cubica (gobba) e in una corda di questa, e nell’ipotesi che 
la retta r sia aneli’ essa corda di questa cubica, si ottiene una superficie nota. Vedi 
G. APRILE, 1 . c. in (*®), n® 52. 
(*®) Se esistessero due punti ambidue comuni a tutte le coniche di (A) , allora (x) sarebbe un fascio, e ciò 
fu (n® io) oggetto di studio. 
ATTI ACC. SERIE V. VOL. Vili — Meni. XIV. 
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