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Giuseppe Marletta 
I Memoria XIV. 
drica genericamente passante per /, la sechi nlteriormente in una curva dotata, 
oltre che di A, di (^j punti doppi, possiede un fascio di coniche (generalmente ir- 
riducibili) tutte passanti per A, e situate a p p nelle quadriche conlenenlt /. 
20. Applichiamo la costruzione del n“ 4 supponendo, in particolare, che (x) sia un 
fascio di coni (quadrici); indichiamo con f, 1^,1 -ì-, l^ i® quattro rette costituenti la base 
di {x), e con O il punto a queste comune. Supponiamo ancora che il sistema {r), dei piani 
delle coniche di (h), abbia un punto base V non posto in alcuna di queste quattro rette. 
Giacché è v = /, la superficie 7 è (n° 4) d'ordine n 2\is -y- p ; ha p. 5 -ple le rette 
II, 1 - 2 , l-i, punto K, e ?iJ. 5 -plo il punto 0. 
Facciamo ora l’ipotesi che V appartenga ad l^, onde (n° 4) V è per Y, 
e ammettiamo ancora che nella corrispondenza {p, s), che per ipotesi esiste fra gli ele- 
menti dei sistemi (r) e (x), i tre piani l^f, l^h, fh appartengano a (x) e facciano parte 
di loro coni corrispondenti in (x'). Allora y si spezza nei detti tre piani e in una superfi- 
cie i (n“ 5) d’ordine 11 ~ 2\is f- p — 3, la quale ha: (ns — /^-ple le rette /,,A, /s/ 
([X 5 — 5)-pIa la retta f; (^|X 5 — 52*plo il punto 0, e (ix 5 4- •— 5)-plo il punto V. 
Un qualunque cono quadrico di (x) seca '( nelle rette /,, h, f, ciascuna contata [X 5 — / 
volte, nella f contata |X 5 — 3 volte, e nelle p coniche sezioni di esso cono coi suoi p 
piani corrispondenti in (tt). Or giacché dei due punti comuni a due qualunque di queste 
coniche, uno evidentemente é sempre V , così possiamo concludere che ogni cono di (x:) 
contiene ^ ^ j punti variabili doppi per y'- 
21. Viceversa 
ogni superficie irriducibile ‘( d'ordine 11 ’ — 2\y sfi-p — 3 avente quattro rette f,f,l.^, f 
costituenti la base di un fascio di coni quadrici {irriducibili), di multiplicità [X5 — 1 
le prime tre, e [X5 — 3 V ultima; con un punto V ( 1 x 5 p — 3)-plo in questa mede- 
sima retta, e tale, inoltre, che ogni cono del sopradetto fascio la sechi ulterior- 
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coniche [generalmente irriducibili), ed è generabile come la superficie omonima del 
precedente. 
Infatti ogni cono quadrico x' passante per f, f, f e l^ = OV, seca ulteriormente y' in 
una curva d’ ordine 2p con un punto /)-plo in V, curva la quale essendo, per ipotesi, 
dotata ancora di ( ^ | punti doppi, si spezza in p coniche ; ecco dunque che su y' esiste 
un fascio (/^) di coniche generalmente irriducibili. Inoltre ad ogni cono x' si facciano cor- 
rispondere i piani delle p coniche di [k) in esso contenute ; si otterrà in tal modo fra i 
piani delle coniche di [k) e i coni quadrici di (x*), una certa corrispondenza [p, s). 
Consideriamo, in particolare, il cono X'’^ composto dei due piani ff e l.,lA questi 
secano ulteriormente y' in due curve d’ ordine p -fi 1 & p — 1 rispettivamente, le quali 
devono avere complessivamente (almeno) j punti doppi, oltre di V che é p-'^ìo per la prima. 
Ne segue che di ciascuna di esse curve fan parte p — 1 rette , onde la prima sarà com- 
posta di una conica passante per V e di ^ — 1 rette condotte per questo medesimo punto. 
Dunque il piano /j fa parte di uno, .rj, dei suoi coni corrispondenti. Si deduce, ripe- 
tendo considerazioni analoghe per i piani f h e h f, che nella corrispondenza [p, s) so- 
mente in una curva dotata, oltre di V, di 
j punti doppi, possiede un fascio di 
