Sulle superfìcie algebriche con infinile coniche^ e, in particolare, ecc. 
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pra detta esistono tre piani, di coniche di (/r) , ognuno dei quali è parte di uno dei suoi 
coni quadrici corrispondenti, cioè f si può costruire come nel n° precedente if^). 
cora, di una curva doppia d’ordine [X5 — 1 — pi ( indicando con p, il genere di {k) ), cur- 
va tale da essere incontrata in un sol punto variabile da ogni cono di (x). Se è p -, = [X5 — 2, 
Y può avere una retta doppia infinitesima ìnfinitaiìiente vicina al punto V. In particolare 
per [X = 5 ed s = I (oltre di p — 2), la superficie f, che è d’ordine n —5 e necessa- 
riamente con un tacnodo in F, era nota 
23. Si applichi la costruzione del n° 4 nell’ ipotesi di v = 7, e precisamente suppo- 
nendo, inoltre, che la quartica /', base del fascio (.v ) , sia un quadrilatero (gobbo) IJ^h^i- 
Supponiamo ancora che i piani p , l.^ l^ , appartengano al sistema (tc), e inoltre che la 
quadrica f . l.^ /.j sia una delle 5 quadriche di (.r) corrispondenti al piano f /^, e che 
la quadrica x., = 1.^1^ . l yl., sia una delle 5 quadriche di {x) corrispondenti al piano l^ U. 
La superficie t' ( n° 5) è d’ordine n' = 2 \>.s ^ p — 2, ha /^ixs-pla, f e /g (jxs — 7)-ple, 
(l'-5 — ^)-pla ; essa inoltre è tale che ogni quadrica passante per il quadrilatero ly /, 
la seca ulteriormente in p coniche, cioè in una curva dotata di p {p — 1) punti doppi. 
Viceversa ogni superficie siffatta possiede (n° 12) infinite coniche (generalmente irii- 
ducibili), ed è costruibile (insieme con due certi piani) come ora si è detto. 
Si ponga, p. es., |x = 5, s~l, p = 1 \ la superficie f risulta d’ordine n' = ha 
tripla, ly e l.^ doppie, ed 1^ semplice (^^). 
24. Si applichi la costruzione del n° 4 nell’ ipotesi che {x) sia un fascio avente per 
base una quartica / spezzata in due coniche fy e (aventi due punti comuni). Inoltre il 
piano di appartenga al sistema ('Ji) , e sia ad esso corrispondente la quadrica, di {x), 
composta di questo stesso piano e del piano di /è. 
La superficie 7 ' (n° 5) sarà d’ordine n — 2\).s p—I, con jxs-pla ed fy ( 1 x 5 — 7)-pla ; 
essa inoltre è tale che ogni quadrica del fascio {x) la seca ulteriormente in p coniche, le 
quali hanno , a due a due, ■^ ( ^ ) punti comuni; questi sono o tutti variabili, ovvero 
base di (ti) posto nella quartica f (^'^). 
Viceversa è facile dimostrare che ogni superficie siffatta possiede un fascio di coni- 
che (generalmente irriducibili), ed è costruibile come poco sopra si è detto. 
Per \i- — 2, s=I, p~2y la superficie è d’ordine n' — 5, con la conica sem- 
plice e la doppia ; inoltre in ogni quadrica passante per fy e /', , esistono 1 ovvero 2 
(^h Lo studio fatto nei n‘ 20 e 21 si può generalizzare supponendo che (.r) sia d’indico v> i, pur ap- 
partenendo alla rete dei coni (quadrici) passanti per le tre rette ly, 1^. 
(^*) G. CASTELNUOVO, Sulle superficie algebriche le cui sezioni sono curve di genere ? [Atti della R. 
Accademia di Torino, 25, (1889-1890)], n” io in nota; 
C. H. SlSAM, Concerning Systems of Conics Lying on Cubie Quartic and Quintic Surfaces [American 
Journal, 30, (1908)]; ed 
L. G. TOGLIATTI, Sulle Superfiicie algebriche, del f ordine, irriducibili, con un fascio ellittico di coniche. 
[Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, voi. XXI (1912) ]. 
(^) Questa superficie era nota; vedi, p. es., l’annotazione del n" 5 nel mio lavoro La trasformazione 
quadratica [2, 2) fra piani [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, tomo XVII, 1903]. 
(^h Se (ir) ha due punti base esso è un fascio. 
22. Si noti, in particolare, che per p ~ 2 h 
c= /, onde può essere dotata, an- 
secondo che non esiste ovvero esiste un punto 
