Sulle superficie algebriche con infinite coniche, e, in particolare, ecc. 
13 
dere T unica conica di (A’) passante per esso ; onde a / si potrebbe far corrispondere 
il piano di questa conica, ciò che è assurdo perchè , (it) non è razionale. 
27. Sia 11=: 5 e (t:) gobbo; dico che la superfìcie è a sezioni piane ellittiche. 
A tal fìne si osservi che uno generico dei piani di (ir), seca in una conica ki 
di (k), e in una cubica irriducibile. Dei sei punti comuni a queste due curve , due sono 
(^®) di contatto per con 7, mentre gli altri quattro sono doppi per questa superfìcie. 
Ora se la detta cubica fosse ellittica, allora le coppie di punti coniugati nella che in 
essa determinano le coniche di (k), giacerebbero in rette uscenti da uno stesso punto del- 
la cubica medesima, onde anche i piani di (x) passerebbero per questo stesso punto, ciò 
che è assurdo perchè (x) è per ipotesi gobbo. 
Concludiamo dunque che in x^ esistono cinque punti che sono doppi per la su- 
perfìcie 7, la quale è quindi a sezioni piane ellittiche, e perciò rappresentabile sul piano 
in modo che queste abbiano per immagini le cubiche di un sistema lineare 00^ dotato di 
quattro punti base. 
28. Consideriamo la superfìcie 7^ dell' S. rappresentata dal sistema lineare di cubiche 
I ^1234 1, essendo 1, 2, 3 e 4 in posizione generica. 
Essa possiede cinque fasci di coniche, che indicheremo rispettivamente con (1), (2) , 
(3), (4), (5), rappresentati dai fasci | M |, \ | A3 1, | A4 1, |Af234|. 
Sia (O4 uno generico dei piani trisecanti 7^, e indichiamo con A, B, C le immagini 
dei tre punti 0^ 7^ . Osserviamo che affinchè (Oj incontri il piano di una conica del fascio 
(1), occorre e basta che questa conica e i tre punti 01^7^ appartengano ad uno stesso iper- 
piano, cioè i tre punti A, B, C e la retta (uscente dal punto l ) immagine di detta co- 
nica, appartengano ad una stessa A1234. Ora ciò è impossibile se questa retta non passa 
per alcuno dei punti A, B, C, perchè questi e i punti 2, 3, 4 non giacciono in una stes- 
sa conica. Dunque le immagini delle sezioni iperpiane, ognuna passante per una conica 
del fascio (1) e pei tre punti 7^ , sono A\^ A^34 bc, A}b A^34ac, A}c AI34AB. Ne segue che è 3 
r ordine della varietà generata dagli 00^ piani delle coniche di detto fascio. 
Proiettando ora 71, in un S3, da una retta generica dell’ S5, otteniamo 
tina superficie 7 (di Caporali) d'ordine n—5, dotata di cinque fasci di coniche ; i 
piani di ognuno di questi costituiscono un inviluppo gobbo di classe ix =r 3. 
( 25 ) Questa conica non può essere fissa al variare di / ; infatti se di essa facesse parte una retta / non 
appartenente all’inviluppo, allora per un punto qualunque di questa passerebbero 5 piani di (~), ciò che è 
assurdo. Se invece l appartenesse all’inviluppo, allora essa sarebbe complanare con un’altra conica di {k), 
onde in / esisterebbero due (almeno) punti doppi di 7. Per ognuno di questi passerebbe un’altra retta del- 
l’inviluppo, la quale, incontrando 7 in 6 punti, apparterrebbe a 7, e ciò conduce immediatamente all’assurdo. 
Al medesimo risultato si perviene come segue. 
Sia, dunque, (u) la figura duale di una quartica gobba ellittica. Ragionando come nel n° 2 si ha : 
IO ~ 2. 4 -ri -\- 2I' , cioè a =/>(,. -f- S', ove pc è. il genere della sezione piana generica di 7; quest’ ultima 
eguaglianza è assurda, perchè essendo 7 non rigata e irrazionale, è (ENRIQUES-Castelnuovo) pc > 2. 
( 2 ®) Essi, precisamente, sono quei due punti, fra i sei ora detti, coniugati nella ^'2 che le coniche di (X-) 
segnano sulla cubica di 7 esistente in tt,. 
( 25 ) Il punto doppio della cubica non può essere semplice per 7, perchè in tal caso la conica di (/è) pas- 
sante per esso, sarebbe tangente a Xi in esso punto medesimo. Ne segue che in questo punto cadrebbero due 
punti coniugati nella g^2 della quale si è parlato poco sopra nel testo, e quindi anche ora le coppie di que- 
sta giacerebbero in rette uscenti da uno stesso punto della cubica. 
Per altra dimostrazione vedi (‘‘®). 
