I4 
Giuseppe Mariella 
[Memoria XIV.] 
Che questo inviluppo sia gobbo segue dall’ osservare che esso non possiede alcun 
piano doppio, perchè dei punti 1, 2, 3, 4 tre qualunque non sono collineari 
29. In particolare se i punti 2, 3, 4 sono collineari, allora tutte le coniche del fascio 
(1) passano per il punto doppio di fi avente per immagine la retta (fondamentale) 
Ne segue, supponendo anche ora generica la retta centro di proiezione, che la superficie y 
possiede un punto doppio, per cui passano tutte le coniche di uno dei suoi fasci di coniche; 
i piani delle coiìiche di qualunque dei rimanenti fasci, costituiscono un inviluppo gobbo. 
30. Consideriamo ancora la superficie y proiezione della superficie Yi di S.-, , rappre- 
sentata dal sistema | XiC» | , proiezione fatta da una retta o generica in uno spazio ge- 
nerico. 
Osserviamo che la curva doppia di Y è una quintica gobba ii’riducibile S, razionale e, 
precisamente, dotata di punto triplo 
Che 5, infatti, sia irriducibile segue dal fatto che la retta o è generica; del resto se 
S si spezzasse, di essa, affinchè non ammetta (^^’) infinite trisecanti (propriamente dette), 
dovrebbe far parte una retta (almeno), retta che sarebbe proiezione di una curva d’ ordi- 
ne 2, di Yb cospaziale con o, e ciò è assurdo perchè i piani delle coniche di Yi formano 
una varietà a tre dimensioni, varietà che non è dunque incontrata dalla retta o, nè que- 
sta giace, pei' la sua genericità, in alcuno degli spazi ordinari che le rette di Yi determi- 
nano a due a due (sghembe). 
Dalla irriducibilità di o e dal fatto che essa non ammette infinite trisecanti (propria- 
mente dette), segue che o è razionale e dotata di punto triplo. Ciò d’ accordo coll’ osser- 
vare che la superficie Yi è dotata (^‘) di un (sol) punto doppio apparente , onde per ogni 
punto della retta o passa una sola corda di Yi , corda la cui traccia , nello spazio di y» è 
un punto di o (^-). 
31. Esaminiamo ora 1’ ipotesi in virtù della quale la retta o del n° precedente non 
sia generica. 
a) Se o incontra uno (solo) dei piani delle coniche di Yo D quintica doppia 
(n° 30) della superficie y si spezza in una quartica gobba (irriducibile) con punto doppio, 
e in una retta passante per questo punto e incidente ulteriormente la quartica stessa. In 
questo caso è ^ (e non 3) la classe dell’ inviluppo costituito dai piani delle coniche di y 
formanti il fascio cui appartiene (contata due volte) la retta doppia. 
b) Se o incontra due (soli) dei piani delle coniche di uno stesso fascio di Yn allora 
la superficie y sarà rappresentata da tutte le cubiche passanti per quattro puliti l, 2, 3, 4, 
e secanti due date rette (j e q\ condotte per es. per il punto fondamentale l, in coppie 
di punti variabili coniugati di due date involuzioni quadratiche. 
Ciò posto consideriamo la conica, esistente ed unica , passante pei punti 2, 3, 4, e 
( 2 *) Ovvero: .siccome la retta centro lii proiezione è generica, essa non incontra la varietà generata dai 
piani delle coniche del fascio (t), p. es. ; ne .segue che per la detta retta non passa alcun piano incidente 
tutti i piani ora detti. 
(2®) A questa conclusione si può arrivare, più speditamente, osservando che è la nota superficie di 
CAPORALI. 
( 30 ) Ogni trisecante (propriamente detta) di o apparterrebbe a superficie che (n® i, <?) non è rigata. 
(■*’) F. SEVIiRh Intorno ai punti doppi impropri di una superficie generale dello spazio a quatlro di- 
mensioni, e a’ suoi punti tripli apparenti [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, tomo .XV (1901) ] 11“ 9. 
(^'^) Ne segue, di nuovo, che 0 è irriducibile e dotata di punto triplo. 
