Sulle superficie algebriche con in fin ile coniche, e, in particolare, ecc. 
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secante q q q come ora si è detto. Essa rappresenta una cubica di 7, la quale è com- 
planare con qualunque conica, di 7, avente per immagine una retta condotta per il punto 1. 
Ne segue che questa cubica è una retta tripla per 7. Dunque nella presente ipotesi la 
quintica doppia di questa superfìcie (n° 30) degenera in due rette doppie e una retta tri- 
pla incidente a queste. 
Se dei punti 1, 2, 3, 4 tre qualunque non sono collineari, allora queste rette doppie 
sono sghembe, ed esistono quattro rette (semplici) di 7, ad esse incidenti ; sono quelle 
aventi per immagini le rette 'kl : , n. , e il punto 1 
Le quadriche passanti per le due rette doppie, per la retta tripla, e per una di que- 
ste quattro rette (semplici), secano ulteriormente 7 nelle coniche di uno degli altri quattro 
fasci di coniche in essa esistenti (oltre quello delle coniche complanari con la retta tripla). 
Viceversa ogni superfìcie irriducibile 7 siffatta, cioè avente per curva multipla sol- 
tanto (^‘) una retta tripla e due rette doppie sghembe a questa incidenti, possiede quat- 
tro fasci di coniche, oltre quello delle coniche complanari con la retta tripla. Infatti que- 
ste ultime sono irriducibili, onde 7 non è rigata ; ne segue che questa superfìcie medesi- 
ma è razionale, e quindi rappresentabile nel piano mediante un sistema lineare 00® di 
cubiche passanti per quattro punti fìssi (^^). 
cj Se la retta 0 incontra i piani di due coniche appartenenti a due distinti dei fasci 
di coniche di 71, allora la superfìcie 7 è dotata di una quintica doppia costituita da due 
rette incidenti, e da una cubica gobba avente queste come sue corde (uscenti da uno 
stesso suo punto). Questa cubica può essere degenere o no ; in ogni caso è sempre tale 
che insieme con le due rette (doppie) formi una quintica priva di infìnite trisecanti pro- 
priamente dette (®*). 
Si noti che ognuno dei due fasci di coniche, di 7, cui appartengono (contate due 
volte) rispettivamente le due rette doppie, è tale che 1’ inviluppo costituito dai piani delle 
sue coniche ha la classe 2 (e non 3 ). 
32. .Se, invece, supponiamo che nel n® precedente e nel caso bj, i punti fondamen- 
tali 2, 3, 4 sono collineari, allora le due rette doppie e la retta tripla di 7 passano tutte 
e tre per uno stesso punto che è quadruplo per 7, cioè questa superfìcie è un monoide. 
È facile dimostrare che 7 possiede tre rette semplici uscenti dal suo punto singola- 
re ; inoltre i coni quadrici passanti per una di queste, per le due rette doppie, e per la 
retta tripla, secano ulteriormente 7 nelle coniche di uno dei suoi tre fasci di coniche non 
complanari con la retta tripla. 
33. Ritornando al caso generico circa la posizione dei punti fondamentali 1 , 2, 3, 4, 
È la superficie data in fine del n° 23. Vedi la (^^). 
Con questa parola « soltanto » intendiamo evidentemente escludere la rigata gobba razionale d’ or- 
dine n — s, con due generatrici doppie e due rette direttrici infinitamente vicine, una tripla e 1’ altra doppia. 
Questa rigata, che appartiene al tipo V di SCHWARZ, è precisamente il caso particolare a cui accenno nel 
mio lavoro 
Sulle curve razionali del qiiinto ordine [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, tomo XIX (1905)], 
nel n° 2 del cap. V. 
if) Del resto considerando le cubiche (irriducibili e razionali) ulteriori intersezioni di 7 coi piani pas- 
santi per una delle due rette doppie di questa, si prova 1’ esistenza delle quattro rette (semplici) di 7 inci- 
denti le due doppie, e di conseguenza l’esistenza dei fasci di coniche di 7 medesima. 
Vedi il n° 33. 
