Sulle superficie algebriche con influite coniche, e, in particolare, ecc 
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a) Per ti — 0 è tìz=i4 , e quindi pf.~3, cioè la curva è dotata di tre punti doppi. 
La curva doppia di y è dunque una cubica gobba, la quale deve necessariamente es- 
sere costituita da tre rette passanti per uno stesso punto O (triplo per f) , perchè altri- 
menti la superfìcie y sarebbe razionale. 
Di queste tre rette nessuna passa per V, punto base di (tz). Infatti proiettando da O 
una qualunque conica di (h), si ottiene un cono quadrico che seca ulteriormente ■j' in una 
altra conica di (h) medesimo (^^). Ne segue che i coni quadrici proiettanti da O le coni- 
che di (h), generano un fascio, e questo ha per rette basi le tre rette doppie di Y e una 
altra retta che non deve appartenere a questa superfìcie. Le coniche di (h) , quindi , in- 
contreranno quest’ ultima l'etta in un punto fìsso che è necessariamente F, ed ecco che 
F non appartiene ad alcuna delle tre rette doppie di Y- 
D’ altra parte si osservi che un piano generico tìi di (tc), seca Y lungo una conica di 
(A) e una cubica ellittica (n° 35). Dei sei punti comuni a queste curve, uno è F, un al- 
tro, facilmente si dimostra, è punto di contatto del piano tci con y , mentre i rimanenti 
quattro punti* sono doppi per questa superfìcie. 
Confrontando questo risultato col precedente, concludiamo che dei quattro punti va- 
riabili doppi per y e posti in uno generico dei piani di (ir), uno (solo) deve essere sempre 
infìnitamente vicino a F, punto che quindi è un tacnodo per Y- 
•Si ottiene così una superfìcie effettivamente esistente, nota, e della quale si fe’ cenno 
nel n° 22. 
b) Per ti “ p sarebbe tì — 2 o. quindi = 2, ciò che è assurdo perchè y non è ra- 
zionale nè è rigata. 
37. .Sia ora (ir) razionale. 
Anche il fascio (lì) sarà (n® 35) razionale. 
Dicasi a) un piano generico ; le coniche di {lì) segnano sulla quintica (irriducibile) yw, 
una ^2 avente un certo numero ci di punti doppi, e procedendo come nel n° 2, si ha 
10~2.3-ftìf- 21'. 
Per ’h' — 0 è tì — 4, e quindi la curva yw è ellittica. 
Dunque la superfìcie (razionale) y è rappresentabile, sul piano , mediante un sistema 
lineare 00 '* di cubiche passanti per quattro punti fìssi, tre dei quali appartengano ad una 
stessa retta immagine del punto doppio F di y. Si ritrova così la superfìcie y del n° 29 (^“). 
Che effettivamente l’ inviluppo (x), costituito dai piani delle coniche di y passanti per 
F, sia di classe [x = 3, segue non soltanto dalla rappresentazione piana di questa super- 
fìcie, ma anche dall’ osservare che per una retta t genericamente condotta per F, passano 
i piani delle tre (sole) coniche di [lì] le quali, oltre che per F, passano pei tre punti ty 
distinti da F. 
Non può, poi, essei'e t! — l, perchè in tal caso si verrebbe all'assurdo di essere y 
a sezioni piane razionali. 
38. Esaminiamo ora 1’ ipotesi per la quale l’ inviluppo (x), costituito dai piani delle 
coniche del fascio (lì), sia di classe = 2. 
Siccome y non è rigata, ogni piano di (x) contiene una sola conica dì (h), e passerà 
( 3 ®) Ciò perchè Y no» è rigata, nè, essendo irrazionale, possiede (come semplice) alcuna curva razionale, 
oltre le coniche di (/fe) e le rette (in numero finito) parti di coniche (degeneri) di (>fe) mede.simo. 
(*9 È chiaro che nel n“ 27 si poteva dare una dimostrazione perfettamente identica a quella ora data. 
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