18 
Giuseppe Marletta 
I Memoria XIV.J 
per un punto fìsso V che (n° 3) sarà per f o semplice o triplo, e soltanto in questo se- 
condo caso esso sarà un punto base per il fascio [k). 
Dicasi w un piano generico ; le coniche di (/^) segnano sulla quintica (irriducibile) foi 
una ^2 avente un certo numero ^ di punti doppi. Ragionando come nel n® 2, si ha 
10 — 2.2-^\-l-y 2^'. 
a) Per o'r=6) è e quindi la curva 7(0 è di genere 2 , onde la superfìcie (ra- 
zionale) 7 è dotata di una quartina doppia (degenere o no, ma sempre priva di infi- 
nite trisecanti propriamente dette). 
Per ottenere una superfìcie 7 siffatta basta applicare la costruzione del n" 4 , suppo- 
nendo \i .— 2 ed s = = Il punto V, vertice del cono quadrino inviluppato dai 
piani di sarà per ‘f triplo o semplice, secondo che esso appartiene o no alla quartina 
base del fascio (x) di quadriche. Rvidentemente V sarà un punto base per (k) soltanto 
nel primo caso. 
Del resto la superfìcie 7 in esame è proiezione generica della 7, dell’ rappresen- 
tata, nel piano, dal sistema lineare { *^^22345678!; il fascio (k) è proiezione del fascio di 
coniche (Aq) di 7^ avente per immagine le rette X}. È poi facile dimostrare, direttamente, 
che i piani di queste coniche generano una iperquadrica, la quale è, evidentemente , un 
So - cono avente per vertice il punto Fi di 7, rappresentato dall' ulteriore punto base del 
fascio I Xj2345er8 I ('*■')■ 
b) Per y = 1 è h = 4, e quindi la curva 70) è ellittica, onde la superfìcie (razionale) 
7 ha come doppia una quintica ; questa è certamente degenere, perchè di essa fa già parte 
una retta la quale, contata due volte, è una conica di {k). 
La superfìcie 7 è proiezione della superfìcie 7, del n. 28, ove si prenda come retta 
centro di proiezione, una retta 0 incidente un (sol) piano che contenga una conica qua- 
lunque di questa superfìcie medesima 71. Il fascio di coniche di 7j cui appartiene questa 
conica, ha per proiezione il fascio {k) di 7 C*^). 
.Si noti che, in particolare, la retta o può incontiare, inoltre, uno o più piani conte- 
nenti coniche, di 7, che appartengano però agli altri fasci di coniche di 71 medesima. .Si 
veda, p. es., il n. 34. 
Si noti che 7 non può avere alcuna retta tripla, perchè dovendo ogni punto generico di questa ap- 
partenere a tre coniche di {k), sarebbe esso un punto base per il sistema ("), e ciò è assurdo. 
(■‘-) Le cubiche di 7, rappresentate dalle curve di questo fascio | Xq 2345678 | , sono piane, e le tracce dei 
loro piani nel piano di una qualunque conica di (A,), sono le rette passanti per il punto f',. Ne segue che 
se si proietta 71 non da un punto generico dell' .S7 ambiente, ma da un punto generico complanare con una 
qualunque conica di (X-,), si ottiene una superficie 7, d’ordine n—5, dotata di retta tripla e di una retta 
doppia a questa incidente. In tal caso il fascio {k) si ottiene secando 7 coi piani passanti per la retta tripla. 
Si ottiene dunque un caso particolare della superfìcie assegnata in fine del n° seguente. 
Si noti, infine, che se p. es. i quattro punti fondamentali 5, 6, 7, 8 sono collineari, allora 7, , e quindi 
7, possiede un punto triplo ba.se del suo fascio di coniche. 
(■‘®) Se la retta o incontra (genericamente) i piani di due coniche appartenenti ad uno stesso fascio di 
coniche di 7j, allora questo avrà per proiezione il fa.scio di coniche di 7 complanari con la retta tripla di questa 
superfìcie medesima. E precisamente : le due coniche ora dette avranno per immagini due rette q q g' pas- 
santi, p. es., per il punto i, e su ciascuna delle quali esiste una involuzione quadratica immagine di quella 
avente per centro il punto di o complanare con la detta conica. La retta tripla di 7, poi, è proiezione della 
cubica gobba avente per immagine la conica passante per i punti 2, 3, 4, e .secante <7 e / in coppie delle 
dette involuzioni in e.sse esistenti. Si ritrova co.sì ancora una volta la superficie del n" 23. Vedi la 
