Sulle superficie algebriche con infinite coniche, e, in particolare, ecc. 
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39. Esaminiamo finalmente 1’ ipotesi \^ = 1, supponiamo cioè che (") sia un fascio ; 
indicheremo con r il suo asse. 
La retta r è per i, o tripla o semplice, e ciò perchè questa superficie è irriducibile. 
Nella prima ipotesi y è dunque una superficie non rigata d’ ordine n = 5, avente 
una retta tripla. 
I casi particolari che 7 possegga, inoltre , una o due rette doppie (sghembe o no), 
furono esaminati rispettivamente nell’ annotazione (‘^) e nei n.i 31 ò e 32. 
40. Nella seconda ipotesi ogni piano condotto per r seca ulteriormente y in due coni- 
che ambedue appartenenti al fascio (/^), giacché altrimenti questa superficie y si spezzerebbe. 
Cominciamo a supporre che (h) non abbia alcun punto base (in r). 
Siccome per ogni punto di r passa una sola conica di (le), questo fascio è razionale, 
onde, anche y è (Noether) razionale. Inoltre in ogni piano di (r:) esistono quattro punti 
doppi per y, e siccome in r non esiste (^‘) alcun punto multiplo per questa superficie , 
così possiamo concludere che la curva multipla di y è una quartica doppia (degenere o 
no, ma sempre, priva di infinite trisecanti propriamente dette). 
A questa medesima conclusione si perviene applicando le considerazioni solite, cioè 
considerando una sezione piana generica yoj, ed osservando che è = 0. 
Giacché y è a sezioni piane di genere 2, essa è proiezione della superficie Yi, deU’S4, 
rappresentata dal sistema lineare 1^^122345678 j ? ove i punti 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 appartengono 
ad una stessa conica, immagine di una retta n di Yi- Le coniche di Yi, aventi per imma- 
gini rette passanti per il punto 7, sono complanari con ; ne segue che Y è proiezione 
di Yi da un punto generico dell’ S., ambiente 
41. .Supponiamo ora che il fascio (h) del n° precedente abbia un punto base ^ (in r). 
Anche in questa ipotesi Y è razionale. Inoltre siccome un piano genericamente con- 
dotto per r seca ulteriormente Y in due coniche di (fc), così A è triplo per questa super- 
ficie; gli altri tre punti comuni alle dette due coniche, saranno doppi per questa medesima. 
Dicasi w un piano generico ; le coniche di (f) segnano sulla quintica (irriducibile) 
una avente un certo numero ^ di punti doppi, onde, con le indicazioni del n“ 2, si ha; 
10 4 21 ' . 
a) Per "(ì — 0 è "h — f, e quindi la curva y^ è di genere 2, cioè la curva doppia (^®) 
della superficie y è una quartica ( degenere o no, ma priva di infinite trisecanti propria- 
mente dette). 
Si costruisce una superficie y siffatta se nel n° 4 si pone [x = v =p = 1 ^ s = 2, e 
si ammette che la retta r, asse del fascio (x), si appoggi in un (sol) punto A alla quar- 
tica base di (.rj. .Se questa quartica ha come doppio il punto A, allora dei tre punti co- 
muni, oltre di A, a due coniche di (le) poste in uno stesso piano passante per r, uno è 
sempre infinitamente vicino ad A, cioè queste due coniche si toccano in questo punto. 
Comunque y è proiezione della superficie Yi, dell’S^, rappresentata dal sistema lineare 
|'^^i 22545678| ^ ove i punti 2, 3, 4 sono collineari, e così pure sono collineari i punti 
5, 6, 7, 8. 
0 *) Ciò perchè per ipotesi (/è) non ha alcun punto base. 
Vedi anche il n® 18. 
Vedi la nota 
