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Giuseppe Mariella 
I Memoria XIV.] 
b) Per 0—1 è ^ = e quindi la curva è ellittica, cioè la curva doppia della 
superficie 7 è una quintica ; questa è certamente degeneie perchè di essa fa già parte una 
retta la quale, contata due volte, è una conica di {k). 
Consideriamo la superficie Yi, hell’ S.,, rappresentata, nel piano, dal sistema lineare 
1 , ove i punti 2, 3, 4 appartengono ad una stessa retta. Questa rappresenta un punto 
doppio di Y,, per cui passano tutte le coniche (ki) rappresentate dalle rette , coniche 
che si appoggiano tutte alla retta r^ avente il punto 1 per immagine. 
La superfìcie y è proiezione della superlìcie Yu proiezione fatta da una retta o inci- 
dente genericamente il piano f.a conica di (/dj) complanare col punto in cui questo 
piano è incontrato da o, ha per proiezione la retta doppia, di Y, che contata due volte è 
una conica di (/r). 
42. .Supponiamo ora che il fascio ik) del n° 40 sia dotato di due punti base A e B 
(di r), punti che dunque sono tripli per la superficie Y- 
Dicasi (0 un piano generico e F un suo punto generico. Le coniche di [k) segnano 
sulla curva (irriducibile) y^'L un’ involuzione /Q avente lo stesso genere pi di [k). 
Cominciamo ad esaminare 1’ ipotesi per la quale il fascio {k) sia razionale. 
Ripetendo le considerazioni del n° precedente, deduciamo che i casi da esaminare sono 
due, e precisamente il caso in cui la curva doppia di Y una quartica (passante per A 
e B), e quello in cui la detta curva doppia sia una quintica della quale faccia parte una 
retta immagine (doppia) di una conica di (k). 
a) Si ottiene una superficie y con quartica doppia (degenere o no) se nel n® 4 si pone 
ix -—y = p = l, s — 2, e si ammette che la retta r, asse del fascio (~), sia corda della 
quartica base del fascio {.v). 
Comunque y è proiezione della superficie yi, dell’ S^, rappresentata nel piano dal si- 
stema lineare | '^^[2 23^^5678 ] j uve i punti 2, 3, 4, 5 sono collineari, e cosi pure sono colli- 
neari i punti 5, 6, 7, 8. 
bj II secondo caso, cioè che y abbia una quintica doppia (riducibile), si esclude su- 
bito se i punti A e B sono distinti. Infatti la retta doppia immagine (doppia) di una co- 
nica di (/r), dovendo passare per A e B, coinciderebbe con la retta r = AB, la quale 
quindi non sarebbe semplice per la superficie. 
Ma se i? è infinitamente vicino ad A, se cioè le coniche di [k] toccano tutte la retta 
r nel punto A, allora una siffatta superficie y esiste. 
.Sia infatti (") un fascio di piani di asse r e (.r) un fascio di coni quadrici passanti 
per le rette incidenti d\, e tutti tangenti, lungo una generatrice fissa d%, il piano rd.^ 
(onde r e dz sono incidenti). .Se si stabilisce fra gli elementi dei due fasci una corrispon- 
denza (2, 2), tale che al piano rd\ di [ri] corrisponda, in (x), il cono costituito dai piani 
77/3, duh, e il cono costituito dai piani d.^d^^, did-z, con la condizione, inoltre, che ad un 
certo piano genei'ico di (x) corrisponda, in (x), un certo cono generico x^ contato due 
volte, e viceversa a .r, corrisponda, in (x), il piano x^ contato due volte, si ottiene come 
luogo della conica comune a due elementi omologhi (n° 5), insieme col piano rds, una 
superficie y d’ordine u—J, con un fascio razionale {k) di coniche a due a due nei piani 
passanti per r, e avente come curva doppia la conica x^x, e le tie rette d^,d.^,d^, rultima 
delle quali è, contala due volte, una conica di ik). 
43. Supponiamo ora che l’ involuzione I-, del n° precedente, sia di genere pi'>0. 
Dal fatto che un piano qualunque condotto per la retta r, seca ulteriormente y in due 
