Sulle superficie algebriche con infinite coniche, e, in particolare, ecc 
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coniche aventi due putiti variabili comuni segue che un piano t genericamente con- 
dotto per A, p. es., seca la superfìcie 7 in una quintica che possiede, oltre di A, almeno 
un punto doppio. Dunque la curva fr è di genere minore di 3 ; ma questa curva e il fa- 
scio [k) hanno, evidentemente, lo stesso genere, quindi (n° 42) q pi <C. 3 (^®). 
a) Sia pi = 2, e consideriamo la solita relazione 10 = 4 fi 2^' . 
Per yi — 0 è '^=■6 e quindi pa = 6, cioè la sezione piana generica di f è priva di 
punti multipli. Ne segue che questa superfìcie f o è fi) dotata di due punti tripli distinti 
ognuno dei quali è tale che nel suo intorno esista una retta doppia infinitesima, ovvero 
è dotata di un punto triplo nel cui intorno esista una retta doppia infìnitesima contenente 
un punto triplo o.sconodale. 
b) L’ ipotesi 'i> 0 fi) si esclude subito, perchè un piano genericamente condotto per 
una retta doppia di Y, fetta che, contata due volte, sia conica di [k], secherebbe ulterior- 
mente Y in una cubica (irriducibile) i cui punti sarebbero in corrispondenza biunivoca con 
le coniche di [k), ciò che è assurdo essendo (fi) di genere pi = 2. 
44. Supponiamo infine che sia pi = 1. 
Dalla solita relazione 10 ~ 4 fi^i fi 2h' si ricava ; 
a) per 0 ' ~0, è e quindi p^.=i4, cioè la superfìcie y possiede una conica dop- 
pia (degenere o no), passante per A, p. es., soltanto, ovvero per A e B, ovvero non pas- 
sante per alcuno di questi punti (^^). 
b) Per yi — 1 il punto B dev’ esser infinitamente vicino ad A, cioè le coniche di (fi) 
toccano tutte la retta r in A. Inoltre è e quindi p^:=z3, onde la superfìcie Y pos- 
siede come doppia una cubica della quale fa parte una retta, e precisamente quella che, 
contata due volte, è una conica di fi). Siccome, poi, y uon è razionale, così questa cubica 
si spezza in tre rette (non complanari e) passanti per uno stesso punto. 
Una superfìcie siffatta esiste ed è nota (^^); del resto si ottiene una tal superfìcie Y 
se si applica la medesima costruzione esposta nel n° 42 b, escludendo 1’ ultima condizione 
relativa al piano di (x) e al cono di (x), esclusione che porta di conseguenza essere 
ellittico, e non razionale, il fascio fi. 
c) Infine 1’ ipotesi S' >> / si esclude, perchè porterebbe alla razionalità di y, mentre 
questa è irrazionale perchè possiede il fascio ellittico (k). 
Catania, 29 dicembre 1914. 
(P) Questi due punti possono essere infinitamente vicini 0 no, sia tra loro che ad e B, i quali alla 
loro volta possono essere infinitamente vicini 0 no. 
Alla medesima conclusione si perviene col solito procedimento, considerando cioè una sezione piana 
generica -(w, le eguaglianze /o — ^ -h 0 -h 20' e o — 2(pc -p /) — 4pi , e tenendo conto che una quintica piana 
è al massimo di genere 6 . 
P) Ciò d’accordo col DE FRANCHIS, 1 . c. in (^), n® i. 
Si noti, intanto, che in tal caso il punto B dovrebbe essere infinitamente vicino al punto A. 
p) Ciò d’accordo col DE FRANCHIS, 1 . c. in (‘), n° 2, ove si trovano dettagli circa la composizione dei 
punti singolari A e B. Si noti, p. es., che se la conica doppia passa per A ma non per B, allora mentre 
questo è un punto triplo ordinario, 1 ’ intorno di A possiede una retta doppia infinitesima. 
(^ 2 ) SISAM e TOGLIATTI /.' c.^ in f'^). 
