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Vili ce uso Amalo 
I Memoria XV.J 
Ogni sostitusioiie ortogonale periodica di ordine ii e di carattere (/;/i, ni>, ... , 
ni-i , ///, , niji) si ottiene dalla forinola 
S — , 
dove A è una sostitnsione ortogonale qualunque di ordine n e 
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(i) 
Nella <1>, scritta in forma abbreviata, esprime una matrice di ni]- numeri tutti 
nulli, all’ infuori di quelli disposti lungo la diagonale principale che sono eguali al. La 
< 1 > è una sostituzione reale, di ordine /?, ortogonale e periodica di carattere [nix , m-i , ... , 
///.,, ni\, Hip) Se p è pari ed è > 0 figurerà nella ^1>, al posto dovuto, la matrice — -Aft 
La S = A~^A>A può anche non essere reale se, com’è lecito supporre, non è sempre 
reale la A. Così il teorema sopra enunciato fornisce tutte le sostituzioni ortogonali perio- 
diche, siano o no reali, classificate secondo il carattere e per ogni classe ne fornisce una 
di forma canonica reale. 
Per p = 2 sì hanno le sostituzioni ortogonali involutorie. La <I> si trasforma in una 
sostituzione di elementi tutti nulli all' infuori di quelli della diagonale principale dei quali 
i primi Hip sono eguali a — 1 e gli altri nip a 1. Queste sostituzioni sono state studiate 
dal Pr}un (*). 
Osserviamo che, qualunque sia p, le O di modulo 1 rappresentano rotasioni finite 
reali intorno all’origine e quelle di modulo — 1 rappresentano antirolasioui. .Sarebbe fa- 
cile la decomposizione delle prime in rotazioni eleiuentari intorno a spazi assiali mutua- 
mente ortogonali : ciò concorda coi risultati generali sulle rotazioni finite reali, trovati dal 
Jordan {**). 
In questa Nota è ripreso lo studio della sostituzione <I> allo scopo di metterla sotto 
una forma che presenti con maggiore evidenza la legge di composizione. Questa nuova 
(*) Ueber orUiogoìialt:, invohiioristiie unti orthoffonal-im'oluloriscìif Substitiiliourn (AbhanJl. d. inatll. 
Classe der K. Gesellscliaft der Wissenschaften zli Gdttiiigen, Bd. XXXVIII). 
(**) Essai sur ia geometrie à n tiimnisions, Bulletin de la Société inatli. de Hrance. 1875, tomo III. Cfr. 
anche la memoria di BHMPORAD : Sut j^ru/>/>i di mox'imcnti e simiiitmiiui nello spazio a ,f e dimen- 
sioni, Annali della R. Scuola normale sup. di Pisa, voi. Vili. Una classificazione delle similitudini piane e spa- 
ziali e, in particolare, delle isomerie nel piano e nello spazio si può leggere nei Coniplemenii di f>eomelria 
(voi. I) del prof. G. SCORZA (Bari, l.aterza, 1914, p. loi e 117). 
