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Sulla convergenza delle serie di funzioni ortogonali 
Nota di Carlo Severini **’ 
Nella Nota “ On thè coiivergeiice of series of ortìiogomil funclions “ [Procee- 
dings of thè London Mathematica! Society, Ser. 2, Voi. 12 (1912), Part. 4, pp. 297-308] 
il Sig. Hobson , continuando le ricerche di Fatou (‘) sulla serie di Fourier e quelle di 
Weyl {') sulle serie generali di funzioni ortogonali , perviene con un nuovo metodo ai 
seguenti teoremi : 
A. Se ^l>j (x). 4>o (x), costituiscono una successione di funsioui normali, 
ortogonali , e se la serie 1'^ c,‘^ -|- 'F -j- .... -j- n* c„‘ -|- .... converge per qualche 
valore di k, maggiore di sero, allora la serie c/tj (x) -|- C24>., (x) 4- .... -f- c„<L„ (x) -]—••• 
converge in tutti i punti dell' intervallo , pel quale le funsioui ortogonali sono 
definite, fatta al più eccesione per un insieme di punti di misura nulla. La con- 
vergensa è quasi uniforme, nel senso che si può determinare un insieme di punti 
di misura minore , ma prossima quanto si vuole a quella dell' intervallo , nel 
quale la converge usa della serie è uniforme. 
B. Se, per qualche valore di p maggiore di sero, n^ converge a sero, al 
crescere infìnilo di n, la serie c„ (x) è convergente in tutti i punti dell’ in- 
1 
tervallo , pel quale le funsioui normali, ortogonali (x) sono definile, fatta al 
più eccesione dei punti di un insieme di misura nulla. 
Le condisioni 
lim |// - a„ j — 0 , lim |// b,}j = 0 , 
per qualche valore di 
noìuelrica 
p maggiore di sero, sono sufficienti, affinchè la serie trigo- 
a. 
V 
[a,i cos nx -|- sen //.v) 
sia convergente, colla stessa eccesione sopra detta. 
("*) Presentata all’ Accademia nell’adunanza del 6 Febbraio 1915. 
(9 Cfr. P. FATOU: .SV//>.v Ingononu-iriques H séries de Taylor [Acta mathematica, T. 30 (1906) 
PP- 335-400]. 
(9 Cfr. H. WEYL: Ubar die Konveroenz z'ou Reihen , die naeh OrUiogoiialfunklionen fortscìu citen 
[Matliematische Annalen, Bd. LXVIl (igog) pp. 225-245]. 
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