Carlo Seven'ni 
Mp:moria XX.] 
Questi due teoremi comprendono quelli di Faloti e di ìr>\'/, e costituiscono, per la 
generalità delle condizioni in essi contenute, un progresso notevole nella teoiùa delle serie 
di funzioni ortogonali, giacché il problema fondamentale dello sviluppo di una funzione /(.r), 
sommabile insieme col suo quadrato, in sei'ie di funzioni (.r), se il sistema delle <1>„ (.r) 
è chiuso, o altrimenti se, detto {a,h) l’intervallo (finito), in cui queste sono definite, si ha: 
converge quasi da per tutto nell’ intervallo {a, b) 
A complemento dei risultati di Hobson, c’è luogo a ricercare se e come dal valore 
oc 
dell’esponente k dipenda il modo di convergere della serie (.r), ed io qui mi pro- 
pongo di far vedere, che, se la serie //* c’„ convei'ge per un valore di k maggiore di 1, in 
particolare se iC \ c„ j (/w ]> 1) si mantiene per ogni n minore di una costante positiva, 
00 
finita, la serie Cn ‘ibi (-i-’) converge assolutamente quasi da per tutto nell’ intervallo [a, b), 
che converge inoltre assolutamente in ogni punto di {a, b), se in ogni punto di (a,b) è 
limitata (potrebbero farsi ipotesi meno restrittive) la successione dei valori delle {x), e 
per ultimo che converge anche iniiformemente, sq uniformemente limitate sono le (.v). 
Questi ed altri analoghi teoremi formano 1’ oggetto della presente Nota. 
1. .Sia F (a:, 3’) una funzione, sommabile insieme col suo quadrato nel campo 
( 1 ) a ^ X ^ b , a ^ y ^ b , 
e s’ indichi con : 
(^) Cf. C. SEVERINI: Sopra gli sviìuppi in serie di finizioni orlogonali, S S [Atti dell’ Accademia Gioe- 
nia di Scienze Naturali in Catania, serie V, voi. Ili (1910), Memoria XI]. Per altre citazioni cfr. C. SEVERINI 
Sulla leoria di chinsnra dei sislcnii di funzioni orlogonali nota 6) [Rendiconti del Circolo Atatematico di 
Palermo, Tomo XXXVI (2® seni. 1913)]. 
Dicendo che la serie converge quasi da per tutto nell’ intervallo {a, lì) s’intende, secondo l’uso, che 
pos.sono al più fare eccezione i punti di un insieme di misura nulla. Non fa d’ uopo aggiungere che la .serie 
converge uniformemente in generale, giacché ciò segue necessariamente dal fatto che la serie converga quasi 
da per tutto. Questo teorema è stato da me stabilito nella prima delle due note. Cfr. anche D.-Tll. HGOROFI-: 
Sm Ics siiilcs de fonclions mesnrables. [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences 
(Paris), tome CUI (i*''' semestre 1911), PP- 2.14-246]. 
per Ogni soluzione effettiva 0 (m) delle equazioni integrali 
si riduce a constatare che la serie ; 
CO 
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( 3 ) 
