Sulla couvergeìisa delle serie di fuusioni ortogonali 
3 
un sistema completo di coppie di autofunzioni ortogonali del nucleo F(x,y), con 
la corrispondente successione di autovalori, per i quali si ha : 
[ fpn (-v) = ka F {X, V) iy) dy 
(4) ■ " (//=!, 2,..,) 
I 'KU') = K j^^F{y,x)cpa(y)dy . 
Si consideri la successione (2) (le medesime considerazioni valgono per la (3) ), e si 
formi la serie 
CO 
i cui coefficienti sono quantità date. 
Si ha per le (4) ; 
»‘+p 
1 . 
>“+p 
I C'n fp« (n;) I ^ 
K Cn I F (.r, v) c}),, iy) dy 
J a 
donde, ponendo; 
d„{x) = I F{x,y)<!i>n{y)dy 
.1 a 
si ricava : 
m+p 
m-j-p 
2 1 ('n (Pn M I = I (-u da {x) \ , 
n a 
che si può anche scrivere ; 
»i+p 
»i+p 
IH+JJ 
2,^ ! 'p" (-^’) I I,, 1 2,^ I oo 1 1 2„ * I 
Applicando la disuguaglianza di Scinmrs, se ne deduce ; 
iii+p ni-Pp *iH-p 
tn fH ni 
(*) Cfr. E. SCHMIDT : Z/ir Theorie der Iniea-ren und nichlhuearen Integralgleichungcn [Mathematische 
Annalen. Bd. LXIII (1906), Heft 4, p. 462]. 
