Snllti convergeiisa delle serie di fiiwcioni orlogonali 
12. Ciò posto, sia data una successione qualsivoglia di funzioni ortogonali 
( 8 ) 
OgCv),..., (.r) , . . . , 
sommabili insieme coi loro quadrati nell’ intervallo (a, f>), ed una successione di quantità 
(9) 
I-*-! ) P'2 5 • • • ) 
tali che converga la serie 
( 10 ) 
CO 
2 ^ 
Se si considera ('’) nel campo (1) la corrispondente successione delle funzioni 
'I'» (-V, v) = (-t') (j') 
(n={,2...) 
si vede che questa risulta composta di funzioni ortogonali, giacché si ha : 
I I (.r, v) (.r, 3 -) d.vdy = I (x) {x) dx I <I>„, (y) (y) dy ^ 
jajd Ja Ja / 
^ 1 per w = Il 
0 per 7ii~\—n 
Segue allora, per la convergenza della (10), che la successione 
( 11 ) 
IH 
iJ-„, 
{m=l, 2...) 
converge in media nel campo (1): si ha infatti: 
m+p 
f G,n+p{^v,y)— G„,{x,y) dxdy ~ f j — 
hi J n .hi J a |X„ 
ni+1 
(.'^ò y) 
dxdv 
»»+!> 
= 2 - 
»)l+l 
Sia (9(.r, 3 O la funzione simmetrica, sommabile insieme col suo quadrato, alla quale 
la (11) converge in media; sarà : 
( 12 ) 
dxdv =: 0 . 
(®) Cfr. G. LAURICELLa: So/>ra i nucIH n'itcra/i [Rendiconti della R. Accademia dei Lincei (Roma! 
voi. XX, serie 5» (i" seni. 1911) fase. 12®]. 
