Sulla convergenza delle serie di finizioni ortogonali 
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cioè la G{x^y) ammette come sistema completo di autofunzioni ortogonali le funzioni ( 8 ) 
e come corrispondenti autovalori le quantità (9). 
Ricordando quanto abbiamo stabilito nel § precedente, si deduce da ciò che, se i 
coefficienti della serie 
OC 
(lò) 2 
I 
sono tali , che converga la serie 
CC 
la (15) deve convergere assolutamente quasi da per tutto nell’ intervallo {a,b). 
Aggiungiamo ora 1’ ipotesi, alla quale abbiamo in principio accennato, che in ogni 
punto di [a, b) sia limitata la successione dei valori delle funzioni ortogonali date ( 8 ). In 
tal caso possiamo completare la determinazione della G {x, y), in modo che per ogni va- 
lore di a: sia, insieme col suo quadrato, linearmente sommabile rispetto ad y nell’ inter- 
vallo {a,b), e sussistano in tutti i punti di {a, b) le (14). A tal’ uopo ricordiamo che, pel 
teorema di Weyl, (*) si può dalla successione (11) estrarre una successione parziale 
( 17 ) 
(.^v, 3 ;), (x,y) , G„,, (x,y ) , 
1 2 j) 
convergente quasi da per tutto nel campo (1) a G{x,y). È facile vedere che, per ogni 
valore fisso di :r, la (17) converge in media, rispetto ad y, nell’intervallo (a, b). Si ha 
infatti : 
G,„> {x, y) 
L p 
rm' y) 
/> 4 '? 
Pi /li r/ 
Pi 1 
e quindi : 
vi/i^fj 
- V 
^ I 
/ G,„, ..r ,3 
') — G„p {x, y) 
dv = 7 
(•• 
v) 
1 a 1 
m'i I-*-» 
>»' p-\~ I 
e poiché, nella detta ipotesi, la serie 
co 
I 
(*) Cfr. H. WEYL: Ul>er die lùmvergens von Reihen, die nach Orlhogonalfunklionen forlschreilen [Ma- 
thematisclie Annaien, Bd. LXVII (1909), pp. 225-245]. Cfr. anche M. PLANCHEREL: Coìilribitliou à V elude 
de la représentalioìi d’ une foncliou arbitraiì-e par des intègrales défmies [Rendiconti del Circolo Matema- 
tico di Palermo, tomo XXX (2° seni. 1910) pp. 298-297]; LAURICELLA 1 . c. (6). 
