Sulla coaver^ensa delle serie di fna.ia'oni orlogonali 
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Infine, per ogni .v di («. b), risulta evidentemente : 
‘J*», (.v) = i).„ /■ Il fa:, v) <i>„ iy) dy {n—\, 2,...). 
Riprendendo ora la G{x,y), alla quale la (17) converge quasi da per tutto nel cam- 
po (1), è chiaro che in ogni punto, in cui la (17) converge a G (.r, v), si ha: 
(19) G {x,y) — H {x,y) . 
In ogni altro punto del campo (l), nel quale la H{x.y) sia determinata, possiamo, 
per quanto è stato dianzi detto, definire la 6^ (.r, y) mediante la (19). 
Dopo ciò, tenendo presente il risultato del § precedente, si può concludere, che, se in 
ogni punto deir intervallo («, b) è limitata la successione dei valori delle funzioni ortogo- 
nali date (8), dalla convergenza della serie (16) segue la convergenza assoluta della (15) 
in tutti i punti di (a, b). 
Si può osservare che per giungere a questa conclusione basta sapere che la serie (18) 
è in ogni punto di yi, b) convergente, donde la possibilità, come è stato in principio 
accennato, di sostituire l’ipotesi, che in ogni punto di {n, b) sìa limitata la successione dei 
valori delle (8), con altre ipotesi più generali. 
.Se in particolare le (8) sono uniformemente limitate nell’intervallo {a, b), dalla disu- 
guaglianza 
111 +]) 
ììl 
< 
ÌU+P 
vt+p 
ììl 
alla quale si perviene collo stesso ragionamento, impiegato nel § precedente per arrivare 
alla (6), segue che, convergendo la (16), la (15) converge assolutamente ed uniformemente 
in {a, b). 
Anche qui c’ è luogo ad osservare che per potere ciò asserire, basta sapere che uni- 
formemente limitate nell’intervallo {a, b) sono le funzioni 
m 
Ih, 
1 
Riassumendo si può oi'a enunciare il seguente teorema; 
Sia 
(8) (-V’) , (.V) , . . . , <1>„ (.r) , 
ima successione di /nusioni orlogonali, definite in un iiilervallo finito (a, b\ .sow- 
inabili insieme coi loro quadrali. 
Se 
(.T) 
[in—\, 2,...) '. — 
ATTI ACC. SERIE V. VOL. Vili — -lA’w. XX. 
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