Sulla coìivergemsa delle serie di funzioni orlogouali 
II 
4. La serie (20) risulta certamente convergente, se è limitata la successione dei rap- 
porti dei suoi termini ai termini corrispondenti della serie 
lunque sia n, si ha : 
(21) I 
2 , 
ir 
{k > 1 ), se cioè, qua- 
1 < M 
1 M costante , /^ )> 1 \ 
\ «.— 1,2,... / 
Da ciò segue il seguente teorema, che si collega col secondo teorema di Hohsori, 
enunciato in principio. 
Se esistono una costante positiva, finita M ed una quanlilà k, maggiore di 1, 
tali che risulti : 
( 21 ) 
n'" I c„ I ^ M 
(//= 1 , 2 ....), 
la serie 
co 
(15) 2 6-.<II„(.T) 
I 
converge assolutaniente quasi da per tutto nell' intervallo (a, b). 
La convergensa assoluta della (15) ha luogo in ogni punto di (a, b), se in ogni 
punto di (a, b) è liniitata la successione del valori delle (8); e, quando le (8) sono 
uìiiformemente limitate nell' inlervallo (a, b) , la convergenza della (15) è anche 
uniforme. 
In parlicolare, se: 
iL I a.„ \ ^ M , iL \ bn \ ^ M (^'^=1, 2....) , 
ove Ai ^ k hanno il significalo sopra detto, la serie trigonometrica 
00 
converge assolutamente ed uniformemente nell' inlervallo (0, 27t). 
5. La condizione espressa dalla (21) risulta evidentemente soddisfatta, se esistono 
una costante positiva, finita M ed una quantità r, maggiore di l, tali che si abbia: 
È questa, come si sa, la condizione necessaria e sufficiente, affinchè la serie di po- 
tenze intere, positive, della variabile complessa .3 = x f- iy 
co 
1 
