Sulla convergen.^a delle serie di fitnsioni ortogonali 
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Pongasi poi : 
(29) 
A V — A V 
(v=l,2,...), 
ove : 
mi — 1 
A V 
«.,v , A ~ 2,, 
(v=l,2,....) . 
È evidente che si ha : 
( 30 ) 
m ' — 1 co 
2_,r.(x) = J, 
I I 
A V (.V ) 
Inoltre, poiché per le (23) : 
a: 
a 
pv 
(v=l,2,..), 
risulta ancora : 
(31) 
A'v <I>v fx) j ^ c 2^ 
I 
jv pv 
(x) 
Dalle (28), (29), (30), (31) si ha in fine: 
A'/ Ov (x) 
00 
r , 
^11 11 
> — 0)v (x) , 
pv 1 'MI’ 
I 
e nel punto x considerato si deve pertanto avere : 
00 00 
(32) 2. = 2v 
I I 
Resta così stabilito che queste due serie convergono (la serie (26) converge, come 
si è detto, anche assolutamente) ed hanno eguale somma quasi da per tutto nell’ inter- 
vallo {a, b). 
Il precedente ragionamento prova altresì che la convergenza delle serie (25), (26) e 
(27) (convergenza assoluta nel caso delle (25) e (26) ) e la validità della (32) hanno luogo 
in ogni punto di {a, b), se in ogni punto di {a, b) è limitata la successione dei valori delle 
funzioni ortogonali (8), e che, quando queste funzioni sono uniformemente limitate nell’ in- 
tervallo {a, b), la convergenza delle dette serie è anche uniforme. 
