Sopra un’ npplicasione della convergenza in media ecc. 
esistano, per ogni n, due funzioni di t 
( 11 ) 
Pn d) 
{11= 1,2,....), 
( 3 ) 
Qn d) 
[n = 1,2,....) 
soniniabili insieme coi loro quadrati nell' intervallo (0, 2'^), alle quali convergano 
in media rispettivamente le successioni 
? l) ^5 2 ,....) 
P,, (r, /) (;/ = 1, 2,....) 
al tendere di r ad l. Le successioni (2) e (3) convergano inoltre in media nell' in- 
tervallo (0, 2t:) rispellivamenle a due funzioni , sommabili insieme coi loro qua- 
drati, P (t) e Q (t). Sotto queste ipotesi la P (i) -|- iQ (t), che è funzione U (z) dei punti 
z del piano x, posti sulla circonferenza (l), è tale che V espressione 
(]) (:r) = dx ( i I < 1 ) 
2~ì ./(l) Z—X 
rappresenta una funzione analitica, regolare entro il cerchio (1), e si ha: 
(x) = lim (p„ (x) ( I 1 < 0 • 
Di più la successione (1) tende uniformemente a (.v), per ogni | .r | ^ 1 —Ò, 
ove 5 è una qiianlità positiva, minore di 1, arbit r ariamente scelta. 
3. La convergenza in media nell’ intervallo {0, 2^) delle successioni (2) e (3) si può 
in particolare asserire, se le funzioni pad), Qa[f), che le compongono, sono uniforme- 
mente limitate nell’ intervallo (0, 2i:), ed esistono quasi da per tutto in questo intervallo, 
fatta cioè al più eccezione per i punti di un insieme di misura nulla, i due limiti 
P{t) = lim pad), Qd) =■ lim qad) ■ 
Basta perciò ricordare (“) che la (2) e la (3) devono allora tendere a P [l) e Q[t) 
uniformemente in generale cioè uniformemente per tutti i punti dell’ intervallo (0, 27 ì) , 
esclusi al più i punti di un insieme di misura minore di una quantità positiva x, che può 
essere arbitrariamente scelta. 
() Cfr. C. SEVERINI. — Sofìra g- li sviluppi in serie di funzioni ortogonali $ 4, [Atti dell’Accademia 
Gioenia di Scienze Naturali in Catania, serie V, voi. Ili (1910), Memoria XI]; Sulla chiusura dei sistemi di 
funzioni ortogonali, (nota 8) [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, tomo XXXVI (2° semestre 1913)]. 
