Sn le eliche cilhidriche algebriche 
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del piano _y = 0 , passa per 1 ’ origine degli assi dove ha un flesso, perchè ivi si annulla 
d'^v 
la . Non ha altri flessi reali a distanza finita. Inoltre , non ammette nessuna singo- 
larità a distanza finita, perchè non si annulla mai la derivata del primo membro di ( 1 ) 
rapporto ad Quindi il cilindro (1) ha soltanto una generatrice reale inflessionale nel 
punto ( 0 , 0 , 0 ) e tutte le altre ordinaVie. 
Indicando poi con F {y, 3)~0 l’equazione (2) ridotta a forma razionale intera, 
osserviamo che nei punti (o, — ) (o, e ivi soltanto, si annullano e, sic- 
3~ ’ dy 
come e ivi 
d^F d^F 
ds~ 33 '' 
d'^F 
3 ^ 33 ; 
= 0 , 
in quei- punti la curva (2) ha cuspidi. In essi quindi il cilindro retto relativo ha genera- 
trici cuspidali. 
Concludiamo che l’elica (fi) ha nei punti 0, e 0 
spidi , poiché , dall’ analisi su esposta rileviamo che in quei punti le generatrici rispettive 
dei due cilindri ( 1 ) e ( 2 ) che determinano l’elica sono una ordinaria e l’altra cuspidale e 
i piani tangenti lungo esse ai cilindri sono distinti. 
11. — Facendo, nelle equazioni (1) del n. 6 , n = ^ e indicando con — il rag- 
gio della circonferenza mobile e con 9- 1 ’ anomalia del centro di detta circonferenza 
(essendo polo il centro dell' altra), si hanno le equazioni della ipocicloide a quattro cu- 
spidi (asteroide) : 
i X =: a cos^ 9 
f 3 - — a sen ri- 
da cui eliminando 9 si ha l’equazione dell’asteroide in coordinate cartesiane: (^) 
222 
( 1 ') x'-' -\- — a '-' . 
L’ arco, scegliendo come senso crescente degli archi il senso decrescente di 9 fra 
9 = 0 e 9 = — è dato da : 
2 ’ 
( 2 ) 
3 
ovvero anche da 
( 2 ') 
a 
2 ' 1 + tg-'^ 
= - 1 - cost. 
(0 Anche senza ricorrere al teorema di Humbert, si vede subito che questa curva è di direzione, poiché 
la sua equazione tangenziale è : 
(ìd -\r T.'^) a' — irz'^ . 
