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Proceedings of Boy at Society of Edinburgh. 
perfectly accurate statement of the expansion-theorem, known by 
the name of Laplace, hut which, as we have seen, Laplace and even 
Bezout who followed him were very far from fully formulating. 
The passage is of the greatest interest. hTo better example could 
be chosen to illustrate the powerful grasp which Cauchy had of the 
subject. What Laplace and B4zout laboured at, lengthily expound- 
ing one special case after another, Cauchy sets forth with ease and 
in all its generality in the space of a page. His words are (p. 99) — 
“On a fait voir dans le § 3® que la fonction symetrique 
alternee 
6tait equivalente a celle-ci 
S[ S( =*= • 
On fera voir de meme qu’elle est encore equivalente a 
S[ ± S( ± ± ) 
les operations indiquees par le signe S pouvant etre considerees 
comme relatives, soit aux premiers, soit aux seconds indices. 
On a d’ailleurs par ce qui precMe 
^p+l’p+V"^n'n) = i • 
Enfin les signes des quantites de la forme 
Xp) 
""i.! ’ ^e.p 
doivent etre tels que les produits semhlables a 
Sv)Xn-p) 
^1.1 “p.p 
soient dans le determinant aflfectes du signe + . Cela pose, 
il resulte de Tequation 
= S[ + S( + Uy.YU2-2'‘’^p'p) • S( + <^23+1 • p+V"^n'n)\ ) 
que Dn est la somme de plusieurs produits de la forme 
Ap) Jn-p) 
“^1.1 ^p.p • 
Selon que pour ohtenir ces differens produits on echangera 
