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Proceedioigs of Royal Society of Edinlurgli. 
hour’s lecture. It is confessedly founded on Laplace’s memoir of 
1772 j but, though the matter of it is thus not original, it is 
nevertheless noteworthy on account of its brevity, clearness, and 
elegance. 
The word “ inversion ” is introduced to denote (in. 20) 
what Cramer called a “ derangement,” and then by easy steps the 
reader is led u|) to the theorem regarding the interchange of two 
non-contiguous letters. 
“ (9) Done, si Ton permute entre elles deux lettres non 
consecutives, on changera necessairement I’espece du nombre 
des inversions. Soit en effet n le nombre des lettres inter- 
mediaires a ces deux-la ; on pourra d’abord porter la lettre la 
plus a gauche immediatement a gauche de I’autre, ce qui lui 
fera parcourir n places ; puis remettre cette derniere a la place 
de la premise ; et, com me elle sera obligee de passer par-dessus 
celle-ci, elle se trouvera avoir parcouru ?^ + 1 places. Le 
nombre total des places parcourues par les deux lettres sera 
done 27^+l, et consequemment I’espece du nombre des 
inversions se trouvera changee.” (in. 21) 
This, it must be noted, is not identical with Eothe’s proposition on 
the same subject, Gergonne’s n being different from Eothe’s d. 
The proof, that a determinant vanishes if two of the letters 
bearing suffixes be the same, proceeds on the same lines as Eothe’s, 
but is put very shortly and not less convincingly as follows : — 
“ Supposons, en effet, que Ton change h en g, sans toucher a 
g ni aux indices. Soient, pour un terme pris au hazard dans 
le polynome, p et q les indices respectifs de et h; ce poly- 
nome, renfermant toutes les permutations, doit avoir un 
autre terme ne differant uniquement de celui-la qu’en ce que 
e’est li qui y porte I’indice p et g I’indice q] et de plus (9) 
ceux deux termes doivent etre affeetds de signes contraires ; 
ils se d^truiront done, lorsqu’on changera h Qn g et il en sera 
de meme de tons les autres termes pris deux a deux.” (xii. 8). 
On putting le polynome D,” i.e. the determinant \af).gc^y..\ in the 
form 
this theorem of course leads at once to the identities 
