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Proceedings of Royal Society of Edinburgh. 
Vandermonde’s, and his notation essentially the same as Laplace’s. 
To this definition and the proof of the theorem regarding the effect 
of the interchange of two indices or two letters seven pages are 
devoted, and then a fresh step is taken. The exact words of the 
original (pp. 13, 14) must he given, as they distinctly foreshadow a 
great theorem of later times. 
‘‘ 14. Si nous developpons cette expression 
( k I \f m p\ ( k p\ 
a 1) hj ~ \ahj 
m I 
a h 
i p 
le res ul tat sera 
( k m\ 
a h j\a ~b 
done nous avons cette equation 
{A) 
k I 
a h 
mp 
a h 
\ fkp\ 
m I 
a h 
k m 
a b 
)(is)- 
15. De cette formule je vais en deduire d’autres. Je dis 
que si j’introduis la lettre c dans les seconds facteurs de chaque 
terme et en meine temps I’indice k, I’^quation suhsistera encore^ 
et que j’aurai 
/ r>\ { k l\fk mp\ ( k p\f k m l\ [ k m\/' k I 
b)\abc) - \ab be) ^ \ab )\a b 
L’egalite serait prouvee si en developpant les deux membres,, 
les quantites multipliees par la meme lettre c, affectee d’indices 
egaux, 6taient egales dans chaque membre ; or j’ai 
pf k m\ f k l\ 
+ b b J 
k( k m\( I p\ 
+ c[a b )[a b ) 
¥0( 
m/ / k V 
' k m\ 
ah) 
\(kp\ (kp\(kl\\ 
b) \ab )\a b)) 
c\fa b^ 
k/fk k 
\fmp\ (Tcp\(ml\\ 
c[\ah^ 
)\ab) \ab)\ab)) 
1 ( k p\ / k m\ 
b) \ab) 
if km 
c\ab 
k p 
a b 
Les quantites multipliees par ™ et ^ dans chaque membre 
sont egales entr’elles, e’est evident ; et la formule (A) rend les 
coefficiens de ^ egaux; done puisque dans (B), il n’y a que des 
termes multiplies par ^ ^ , et ^ , je conclus que I’equa- 
tion (B) est exacte.” 
