512 Proceedings of Royal Society of Edinhwgli. 
Multiplication by ^^2 ’ “ ^5 j “ ^1 effected and addition per- 
formed, when by reason of such identities as 
= \»AU, 
and ■" ^5!^! ^^2! “ ~ 
elimination of Yticfloe^f^ is produced, and the result takes the form 
^'^1^2/5ll^l^2^3'^4^5l ~ 1^1^2%ll^l^2^3^4/5i "b l^l^2^5i!‘^l ^ 2 ^ 8 ^ 4/51 
(D'") 
— ^2^5 II ^1^2^3^4/51 “ 
The process of derivation may be pursued further, giving next an 
identity in which the first factors are all of the fourth order. 
Desnanot says (pp. 31, 32) — 
“Pour ne pas nous r4p4ter constamment, nous dirons que 
cette formule s’etendrait a un nombre quelconque de lettres- 
placees dans les premiers facteurs, et que 
k i . . 
ah . . 
mp\ / k I . . . P\fk I . . 
cdf~ [ah . . . d Ji^a h . . 
. . p\/ k l . . . mp\ 
. . c h . . . d fj ~ • • 
. mp\ 
• "/; 
= 0. 
Les termes sont alternativement positifs et n4gatifs, les indices 
sont les memes dans les premiers facteurs de chaque terme, ils 
font partie des indices qui se trouvent dans les autres facteurs et 
sont places dans le meme ordre ; quant aux lettres, il y a on 
line, on deux, ou trois, etc. lettres communes aux seconds 
facteurs ecrites toujours dans le meme ordre et suivies de la 
lettre qui n’entre pas dans les seconds facteurs ; de sorte 
que s’il y a 7i lettres communes a tons les facteurs, le nombre 
des termes de (H'") sera n - (xxiii. 6) 
The general result (H'") is simply what would now be called the 
extensional of the identity of Vandermonde from which Desnanot 
derives it. 
Co-ordinate, in a sense, with the said identity, is that other which 
Desnanot uses as a definition ; and this latter is the next of which 
the extensional is found. The process, so far as indicated, is 
exactly similar to that employed in the preceding case. The results 
obtained are 
