530 Proceedings of Royal Society of Edinhurgli. 
P(3 5) to each of the six in P(1 2 4), and so on. The identity 
here involved Schweins writes as follows, the only difference being 
that P is put instead of V ( Versetzungen) : — 
P(1 2 345)= P(12 3)xP(4 5) 
+ P(1 2 4)xP(3 5) 
+ P(1 2 5) X P(3 4) 
+ P(1 3 4)xP(2 5) 
+ P(1 3 5)xP(2 4) 
+ P(1 4 5)xP(2 3) 
+ P(2 3 4)xP(l 5) 
+ P(2 3 5)xP(14) 
+ P(2 4 5) X P(1 3) 
+ P(3 4 5)xP(l 2). 
Another example is — 
P(1 2 3 45 6)= P(1 2 3) . P(4 5 6) 
+ P(1 2 4) . P(3 5 6) 
+ P(3 5 6) . P(1 2 4) 
+ P(4 5 6) . P(1 2 3) . 
The proof consists in the assertion that no permutation can occur 
twice on the right-hand side, and in showing that the number of 
permutations which occur is the full number. 
From this lemma Laplace’s expansion-theorem is given as an 
immediate deduction. The passage (p. 335) is interesting, as the 
mode of enunciating the theorem approximates closely to that of 
modern writers, and has a certain advantage over Cauchy’s, 
perfectly accurate, more general and more compact though the 
latter be. 
“ Nach dieser Weise, alle Versetzungen zu bilden, welche wir 
hier zuerst bekannt machen, konnen auch die Summen der 
Producte mit Versetzungen und mit veranderlichen Zeichen in 
niedrigere Summen zerlegt werden, wenn bei jeder Verset- 
zung nach der oben gefundenen Vorschrift das zugehorige 
Zeichen bestimrnt wird 3 z. B. 
