MLeiiioria IV. 
Sopra gli sviluppi in serie multiple di funzioni ortogonali 
Nota di CARLO SEYERINI 
(") 
Mi propongo di estendere agli sviluppi in serie multiple di funzioni ortogonali un 
teorema , che pai'mi notevole , da me stabilito nel caso di seiie semplici (* **). Per brevità 
mi limito agli sviluppi in serie doppie di funzioni ortogonali, che dipendono da una sola 
variabile: considei'azioni analoghe possono farsi in ogni alli'o caso. 
1 . Siano : 
( 1 ) t-v) (// — 1 , 2 X ) 
(2) V„{y) (/r=l,2,....,x) . 
due successioni infinite, che potrebbero anche coincidere, di funzioni delle variabili reali 
.r ed 3’, definite rispettivamente negli intei'valli finiti (rr, /;), (z:, d), sommabili insieme ai 
loro quadi'ati, e tali che si abbia ; 
, a 
(.r) U„, {x) Vn [x) dx 
0 
1 
se 
se 
m === Il 
m — Il , 
" > 0 se 
q {y) V,„ (y) v„ (v) dy = 
1 se 
m = Il , 
ove p {x) e q {y) sono , due funzioni determinate per ciascuna coppia di successioni (1) 
e (2), misurabili, limitate ed aventi enti'ambe un limite inferiore maggiore di zero. 
Nel rettangolo R limitato dalle rette x — a, x — b, y — c, y~d sia data una fun- 
zione /(n;, y) sommabile insieme al suo quadrato, (***) tale che se esistono soluzioni ef- 
fettive (che non siano cioè ad integrale nullo) delle equazioni ; 
(3) I p (,.v) B (.v) Ui, (x) dx = 0 {Il = 1 , 2, . . . , X ) 
•d 
(4) I q (y) -q ( v) V„ (3;) dy —0 {k = 1, 2, ... , x) 
(•») Comunicata all’ Accademia nella seduta del 14 Gennaio 1911. 
(«j Qr negli .3tti di questa Accademia (Serie 5“^, Voi. Ili) le due Memorie: Sopra ali sviluppi in serie- 
di fnnponi ortogonali e Sulle successioni di funiioni ortogonali. 
(***) Ove la / (.V, v) fosse definita soltmto nei punti di un insieme (di misur.i supertìcUile non nulla) 
contenuto in R, si considererebbe la funzione, che coincide con essa nei punti di tale insieme, ed è nulla in 
ogni altro punto di R. 
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