Carlo Severiìii 
[Memoria IV. 
si abbia, pei' ognuna di queste soluzioni ; 
/■" 
( 5 ) / p {x) t la-, V) H (.i:) dx — 0 , 
per ogni t’, per cui la f{x, y) è linearmente integrabile rispetto ad .v, ed analogamente : 
!'d 
( 6 ) q (V)/ •/; (y) dy = 0 , 
J c 
per ogni a;, per cui la / (.r, A') è linearmente integi'abile l'ispetto ad 3' C^). 
2 . Giova per il seguito fare alcune osservazioni. 
È facile anzitutto vedere che se 'f f.tO è una funzione sommabile nell’ intervallo {a, b) 
la funzione (.r, y), definita nel campo R mediante 1’ eguaglianza (.r, 3^) — 'f (ar), è ivi 
del pari sommabile. Riferendoci per la determinazione della misura degl’ insiemi di punti 
nel piano (x, 3-’) al sistema dei rettangoli di detto piano, anziché al sistema dei triangoli 
il che è evidentemente pei'messo detti a e p due numeri qualsivogliano, è chiaro che 
possiamo scrivere : 
( 7 ) ///,. I £ [« < '!> (.v,3’) < PI { ^ [d ■— C m | [a < cp (.,\:) < pj j 
Analogamente , indicando con C,, E \y <C {x, y) pj V insieme complementare di 
E [a <7 0 ix, 3’) <f PI rispetto ad R e con Qn, o) E \a {x) <7 P] l’ insieme complemen- 
tare di E [« <; ? Ct'") <C PJ rispetto ad {a, b), abbiamo: 
I C,i E [a < ([) (m,v) < p] ( ^ (tf — c) m | -£"[«< cp (m) < p] j ; 
e dall’ eguaglianza : 
nii ■£’[«< (I) ( 3 r, V) < PI j = m {R) — lu,. j Q,. E [a < O (ag v) < pJ ] 
segue pertanto ; 
] E [a C (J) {x,y) < pJ j ^ (rf - c) \^b ~ a — m j ^ [a < cp (x) < p] j 
cioè : 
(8) oii I E [a < cJ) (.r, 3/) < p| | ^ (^Jf — c) m | [a < cp (.v) < P] | 
(*) Iticorciiiinio che 'la /(.v, y) può non essere linearmente integrabile rispetto ad una delle variabili sol- 
tanto per valori dell’altra variabile appartenenti ad un insieme di misura nulla (Cfr. Fuiiint : Siigli integrali 
niiillipli ; Rendic. della R. Acc. dei Lincei 1907). 
(*■■») Cfr. Li'.hesqui; : Integrale, Longuer, Sire; Annali di Matematica, 1902. 
(***} Gir. FcHiNi : 1. c. 5 . 
