Sopra gli sviluppi in serie ut itili pie di funzioni ortogonali 
Risulta C(jsi, a causa della (7) e della (b), che l’ insieme E | « •< (-^^7 3 ') f*] ^ 
SLirabile, e si ha ; 
(9) ni j ii 1 a (1) (;r, y) < p J \ = (d — c) ni | ^ [a < cp (a:) < pj 
Stabilito in tal modo che la (.r, 3 ’) è nel campo R misurabile, dalla dehnizione stessa 
d’ integrale (*) segue che è anche sommabile. 
Analogamente si ragiona partendo da una funzione della sola variabile y, sommabile 
nell’ intervallo (e, d). 
Un altro risultato, del quale avremo più volte occasione di servirci , e che conviene 
pertanto ricordare, è il seguente ; 
Se le fitìi:3Ìoni U (x) (n = 1, 2,...., 00 ), sommabili in un intervallo finito (a, b), 
tendono, in ogni punto di tale intervallo, ad un limile f(x) determinalo e finiio, 
colla condisione : 
/ 9v) 
(// = 1 ,. 
oc ) 
affinché la f(x) sia in (a, b) sommabile, è necessario e sufficienle che esista una 
quantità positiva, fini la 31, per la quale risulti : 
fn (^f) 
< M 
(n = l, 2 , , x). 
Questo teorema si trova dimostrato nella mia Memoria Sulle funsioni sommabili 
(§ 1), inserita negli Atti di questa Accademia {***). 
Un teorema analogo vale per funzioni di più vaiiabili, e si dimostra nello stesso modo. 
3. Ciò posto, per ogni y pel quale la / (a:, v), è, insieme al suo quadrato, linearmente 
integrabile rispetto ad .r, consideriamo la serie ; 
( 10 ) ~ v) Uu {x) dx , 
I 
che, per ogni v cosi fatto, supporremo convergente in tutti i punti dell’ intervallo {a, b). 
Dal teorema stabilito nelle due Memorie, che abbiamo in principio citato, segue allora 
che per ogni A’ (isso, soggetto alla condizione dianzi detta, la (lO) rappresenta, in tutti i 
punti di {a, b), fatta al più eccezione per quelli di un insieme di misura nulla, la funzione 
data f(x, y). 
Considerando i coefficienti A,fiy) della (10), troviamo che essi sono funzioni di A’, 
(-) Cfr. Lkbesque ; 1. c. 
(*'*) Possono evidentemente tare eccezione i punti di un insieme di misura nulla. 
(***) Sene Voi. XX (1907). 
