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Carlo Severini 
[AIemoima IV.] 
sommabili nell’ intei'\'allo (r, d), giacché le lunzioni p {x). f{x^ y)'Uh {^) sono sommabili 
nel campo Per vedere ciò indichiamo con fu (x, y) (;/ l, 2,...., oc) una (unzione 
eguale ad f {x, y) nei punti di /t*. ove — ìi^f{x, y) ^ e nulla in ogni altro pun- 
to ; analogamente con Un, « (.t) tuia funzione eguale ad Un (x) nei punti di {a, b) , ove 
— il ^ Uh {x)^--\- ii, e nulla in ogni altro punto. Le funzioni p {x).fn (x, y)-Un, n (x), 
al crescere di li, tendono nel campo U a p(x).f{x, y).Un (x), e soddisfano alla disu- 
guaglianza : 
P (x)/„ (x,A’) Uu,n (X) \^\p (.v) f{x,y) U,, (x) 
(// = 1,2, 
)• 
Basterà perciò verificare (§ prec.) che esiste una quantità positiva, finita M, per la quale 
si ha, indicando con r/a l’elemento d’area di /f; 
//,. P (x,q-) Un,„ (x) I do ^ 
M 
{n— 1,2, , 00 ). 
Ora abbiamo : {*) 
P U')fn i-^',y) U,.n (x) do — dx J^, I P (-VA’) (•^■^1 
i> :u 
dv 
donde, applicando al secondo membro la disuguaglianza di ScJn^'ars ; 
Ij^ I P Ui,n (X) do ^ ^ \p (m)]" Uu,a (x) ^dx.J^^ f„ {x,y) | dy^ dx 
D’ alti a parte per la stessa disuguaglianza di Schivare : 
\fn (X, V) 
dy 
^ {d - 6-) 
fn (X,3-) 
dy. 
sicché risulta ; 
Ir /’^*'^'''/'»(x, 3') Uu,„ (x) do {d- c) ^ [p (x)]'^ L\n (x) \lx.j\ix /, {x,y) 
dy, 
ed a maggior ragione : 
p{x)f„(x,y) Uujdx) 
do 
^{d—c)j \p[x) f U,,ix)Ydx.j dx I \f{x,y)fdy, 
J u L J J (t J r 
(•// — l, 2, ,00) 
che é quanto occorre al nostro scopo. 
(«) Gir. Fubini, l. c. 
