Sopra gli sviluppi in serie miti ti pie di fu nsioni orlogouali 
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Analogamente, essendo le Ah, n {y) (;? = 1 , 2 ,..., co) costruite per ogni Ah (3’) come 
dianzi le Uh, « (xV per Uh ix), si trova ; 
I Ta.» [y)Tdy^ I \p ix) 
J I" L. - J n 
Uh {X) 
dx.j^^ dy 1/ (x, y) f dx (/?. = 1 , 2 , . . . ,00 ) 
e però, insieme colle Ah iy), sono sommabili nell’ intervallo [c, d) i loro quadrati. 
Di più, se esistono soluzioni effettive rj (y) delle equazioni integrali (4), a causa della 
(6), si ha per ognuna di tali soluzioni : 
dxj^ p (x) U,, {x) q {y)f{x,y) q (y) dy = 0 {l/. — l , 2 , ,x ) 
e quindi, essendo la funzione p (x). Uh (x). q {y).f {x, A'g rj (y) sommabile nel campo it*, 
come si vede con considerazioni analoghe a quelle dianzi svolte per la p (x). f(x, y).Uh (y) : 
fi P (‘^4 q (a) / 3') ■'i (y) àx = 0 {h=], 2 , ,cc) 
ossia : 
j q (3’) ‘/i (3’) b') A’ = 0 ( // = 1 , 2, , X ) 
C’ è luogo pertanto a considerare, per ognuna delle Ah (3’), lo sviluppo in serie di 
funzioni Vjc (y), e sarà, fatta al più eccezione per i valori di v appartenenti ad un insieme 
Gh di misura nulla ; 
( 11 ) 
Ah iy) = ^ Bh.h Vh (y) , Bh,h = dy p (x) q [y)f{x, y, U,, (x) F,, {y) dx , 
'X 
se, la serie -^k Bh, k Ft (y) converge nell’ intervallo [c, d). 
1 
Giova qui notai'e che la funzione (x). ^7 ( v)./ (.v:, 3’)- Uh {x). Vk (y) è, come si può 
vedere nel solito modo, sommabile nel campo i?, e però nel calcolo' dei coefficienti non 
ha importanza 1’ ordine, col quale si eseguono le due integrazioni. 
Sostituiamo nella (IO) al posto dei coefficienti Ah (y) i loro sviluppi (11), ed ammet- 
X X 
tiamo che la serie doppia -k Bh,k Uh {x) Vk (v) converga in ogni punto di U. Pei' tutti 
11 
i valori di y nell’ intervallo (c, d) esclusi al più quelli di un insieme di misura nulla (co- 
stituito dai valori che appartengono ad uno degl’ insiemi Gh {h= 1, 2 ,..., 00) e da quelli 
pei quali la /'(.v, 3') od il suo quadrato possono non essere linearmente integrabili rispetto 
ad .r) risulta allora ; 
(12) /(x,v) 
B,,., 0.(.v) B. 
r,e n 
J r A f. 
P {X) q [y) f {x.y) U,px) V,, {y) dx 
1 i 
in tutti i punti dell’ intervallo (//, ò), fatta ancora al più eccezione per quelli di un insieme 
di misura nulla, che può variare al variare di 
(*) Cfr. le mie memorie sopra citate. 
