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Carlo Severini 
Memoria IV.] 
I". chiai'o che scambiando in quanto è stalo dianzi detto la variabile x colla variabile 
non viene per questo a mutare lo sviluppo tinaie (12), a cui siamo arrivati, e si può quindi 
anche dire che per tutti i valori di .v in ia, b), esclusi al più quelli di un insieme di mi- 
sura nulla , sussiste nell’ intei'vallo (c, d), fatta ancora al più eccezione per i punti di un 
insieme di misura nulla, che può variare con .v, I’ uguaglianza (12). 
4. Vogliamo ora mostrare che 1’ insieme G dei punti di nei quali non ha luogo 
la (12) è di misura (supei-fìciale) nulla. 
Scelti a tal’ uopo i numeri positivi Oj, a„,... in modo che si abbia: a„ )> , 
lin ~ 0, indicando con l’ insieme dei punti ove : 
/l® :c 
/(-v,3') - 
X X 
\ \ 
^ il (•^".* h \y 
ed in genei’ale con G,i 1’ insieme dei punti ove : 
‘n-\ 
> 
/(•V v) 
V \ 
Bu. U„ {X) V, (y) 
{il = 2, 3,...., X), 
r insieme G risulta eguale alla somma degl’ insiemi G^, G.,,.., e ciò prova intanto 
che G è misurabile. Per vedere che la sua misura è nulla chiamiamo con ']> {x, y) una 
funzione eguale ad 1 nei punti di G e nulla in ogni altro punto di B. Abbiamo alloi’a 
m 
(/;) = I dy I < 1 ^ (x,y) dx , 
J V I à 
e poiché, fatta al più eccezione per i valori di _y appaidenenti ad un insieme di misui'a 
nulla (§ 3) ; 
I (a-, 4’) == 0 , 
J a 
risulta : 
/// iG) = I dy I {x, v) dx = 0. 
/ c J a 
X X 
5. Si può aggiungere che la convergenza della serie ‘-'k ■Bh,icUh (x) Vk (v) verso 
1 1 
f {x, y) è uniforme, se si escludono i punti di un insieme, la cui misura è minore di una 
quantità positiva x, ai'biti’ariamente scelta. 
Kissati due valori //,, di //, k e due numeri interi positivi />, s’ indichi con 
p, + q r insieme dei punti di nei quali si ha: 
./' (-V, 4') 
t'id/’ 
V 
l'i+q 
Bpy llj, [x) 
I 
( 3 -) 
a essendo una quantità positiva, piccola ad arbitrio ; e con l’insieme misurabile dei 
punti comuni agl’insiemi /q -yq, P ^ d possono assumere, l’uno indipendentemente 
