Sopra gl/ sv/lupp/ iu serie ìunll/p/e di fu n.ì/on/ orlogonal/ 
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dall'altro, tutti i valori intei'i, positivi. Si considei'lno dopo ciò due successioni, crescenti, 
di numeri interi positivi ìp, //,,.••, /ò,----: /ò,--- 
L’ insieme misurabile ; 
(13) 
contiene 1’ insieme dei punti ove sussiste la (12), la cui misui'a , come sopra è stalo di- 
mostrato (§ 4), coincide con {b — a) {d — c), ed è formato d’ insiemi senza punti comuni. 
Prendendo dunque nella sei'ie (13) un numero i di termini abbastanza grande si può ot- 
tenere un insieme somma, che coincide con la cui misura sia prossima finché 
si vuole a [b — a) [d — c). Nell’insieme si ha, per ogni li e k maggiori rispettiva- 
mente di hi e ki : 
h II 
fU',y) — Buj,Uu [x) V„ iy) 
Ciò posto indichiamo con 
E 
,(/M 
/q, /q 
/ rS'O \ I / yd'O \ . 
(^/q, A-, -- ^/q, Aq ) "I" k, “ ^/q, Aq ) + = 1, 2, 00 ) 
2'l 
gl’insiemi, che, come dianzi è detto, si ottengono sostituendo a a le quantità 
(n—l, 2,...., oo) , e determiniamo una successione crescente di numeri interi positix'i 
r^,...., r,i,...., tale che si abbia : 
{b — a){d-c)-m(E]!^\j^ ) 
a 
2'^ 
(;/=l, 2, . . . . , x) 
Assegnato un valore jf dell’ indice n tale da avere _ , < t, è ben chiaro che la 
misura dell’ insieme dei punti comuni a tutti gl’ insiemi {ìi ~ n^ n -}- l,..., oo) dif- 
''n ’'n 
ferisce da (ò — a) {d — c) per meno di e nei punti di un tale insieme, che indicheremo 
GO OC 
con serie -‘n V,. (y) converge in egual grado alla / (n:, y) : infatti 
1 1 
scelto un numero positivo s , arbitrariamente piccolo, se n" è un valore dell’ indice n ab- 
bastanza grande, perchè si abbia //" Ac //', £.2'*" Ac a, per ogni coppia di valori di h e k 
maggiori rispettivamente di h,. „ A’,. „ risulta : 
r j^^ri / 
h 
f 4’) 
V \ 
Bn,i U„ {x) V, iy) 
in tutti i punti di E'E ’’ , , che comprende E„ 
''n 0 '„« 
6. Riassumendo ora qruuito abbiamo fin qui stabilito, possiaiììo enunciare il seguente 
teorema : 
Siano : 
(1) 
Ui, 
(X) 
0=1,2,.. 
. . , x) 
( 2 ) 
■ V, 
(y) 
0=1,2,.. 
. . , x) 
